Salut,
J'ai trouvé 3 définitions du point intérieur , pouvez vous me dire pourquoi ils sont équivalentes ? et c'est quoi l'interet de chacune ?
Définition 1 : Le point x est dit interieur à A s’il existe un ouvert U tel que x ∈ U et U ⊂ A
Définition 2 : Le point x est dit interieur à A s’il existe un voisinage V de x tel que V ⊂ A
Définition 3 : Un point x est intérieur à A, partie de E, si A est un voisinage de x.
merci
Bonjour.
Si tu lis la définition d'un voisinage, tu auras tout de suite la réponse. C'est comme ça qu'on apprend, en essayant d'abord de faire la preuve ou le contre exemple soi-même. Surtout sur des questions aussi faciles.
Cordialement.
Bonjour,
Les 1 et 2 sont équivalentes :
En effet 1 => 2 car un ouvert est voisinage de chacun de ses points, donc U est voisinage de x.
2=>1 car si V est voisinage de x, il existe une boule ouverte incluse dans ce voisinage, contenant x. Cette boule ouverte est un ouvert, donc on a 1.
1 et 2 définissent donc la même notion d'intérieur.
De plus 3 => 2, assez clairement.
Et 2=>3 car si V est voisinage de x avec V⊂A, alors A est un voisinage de x.
Finalement, ces trois définitions sont bien équivalentes, et heureusement ! (je n'ai pas beaucoup détaillé les démonstrations, si tu nécessite plus de détails, n'hésite pas, mais ce serai bien que tu arrives à faire les démos par toi même !).
Personnellement moi j'ai appris : a est intérieur à A si et seulement si il existe r>0 tel que la boule ouverte de centre a et de rayon r soit incluse dans A, que j'aime bien parce que l'on maitrise souvent mieux le concept de boule ouverte que celui de voisinage ou d'ouvert.
Mais j'aime aussi beaucoup la définition 3, que je trouve simple.
Avec l'expérience de toute façon, tu ne verras même plus la différence entre ces définitions !
Pixin.
Merci à vous , super bien expliqué
Pixin,
tu aurais pu laisser Kira1kira chercher seul et apprendre ses leçons de ce fait. Car c'est quand même élémentaire, tout revient à la définition du voisinage avec les ouverts.
Autre chose : Ta définition de intérieur avec des boules n'a pas de sens si l'espace topologique n'est pas métrique.
Cordialement.
Aucune "super explication" ne remplacera ta réflexion personnelle. Dommage pour toi ...Envoyé par kira1kira
Merci à vous , super bien expliqué
Je pars toujours du principe que les gens qui postent ici respectent la charte du forum, et donc ont fait un minimum de recherche avant. Surtout que je n'ai pas détaillé ici, ça demande quand même un peu de réflexion pour comprendre, voir même de refaire la démonstration soit même pour faire les démos.
Pour ma définition avec les boules, mea culpa, je ne savais même pas ce qu'il existait des "espaces métriques".
Pixin
Si tu pars du principe qu'ils ont cherché longtemps des questions quasi évidente, tu vas passer ton temps à rédiger longuement des évidences.
Mais la fin de ton message me fait penser que tu ne connais rien en topologie. Or ces questions sont des choses immédiates en topologie générale, où on définit les ouverts (à priori des sous-ensembles sans rien de particulier d'autre que 3 propriétés simples), puis les voisinages par "V est un voisinage de x si V contient un ouvert contenant x". Avec ça, on voit tout de suite que 1 implique 2 et 3, puis avec à peine plus de réflexion que 2 implique 1 et que 3 implique 1.
Si tu ne connais pas, va voir sur Wikipédia la définition de "topologie".
Cordialement.
Je n'ai en aucun proclamé être un grand expert en topologie, je ne pense pas que l'agressivité du "tu ne connais rien en topologie." soit réellement nécessaire. J'ai reconnu mon erreur, les espaces métriques n’apparaissent pas au programme de math spé, seule la topologie des espaces normés est présente, et c'est ce pour quoi je pensais connaitre la réponse alors que ce n'était apparemment pas le cas.
Je pense donc que continuer ces reproches n'a plus d’intérêt, je vais me renseigner tout de suite sur la topologie plus vaste.
Pixin.
Désolé,
je n'imaginais pas qu'on puisse faire ce genre de choses en Spé sans jamais avoir parlé d'espaces métriques (je suis d'une génération où on voyait ça en L2). J'ai pensé que tu ne connaissais que les ouverts de R.
Mais sois bien conscient que les équivalences entre ces définitions n'utilisent même pas la définition de ouvert ou de voisinage, seulement le lien entre les deux.
Cordialement.
