intérieur
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intérieur



  1. #1
    invite371ae0af

    intérieur


    ------

    bonjour,

    j'aurai besoin d'aide pour déterminer l'intérieur d'un ensemble:
    soit0<r1<r2
    A={z dans C: r1<=|z|<=r2}

    je pense que l'intérieur de A est {z dans C, r1<|z|<=r2}
    mais comment le montrer?
    j'ai pensé à prendre E={z dans C, r1<|z|<=r2}=B(0,r2) inter C\B(0,r1)
    E est ouvert et inclus dans A donc il est dans l'intérieur de A
    par la suite je veux montrer que l'intérieur de A est E
    2 cas à voir: |z|=r1 et |z|=r2
    il faut donc que je montrer qu'il n'existe pas de r>0 tel que B(z,r) soit dans A

    mais comment faire pour montrer qu'il n'existe pas de r?

    merci de votre aide

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : intérieur

    Pour prouver qu'un objet n'existe pas, on raisonne en général par contraposée ; ici : pour tout r>0, la boule B(z,r) n'est pas contenue dans A.

    Tu considères un point z du bord de la couronne, avec |z|=r1 ou |z|=r2 et une boule B(z,r) centrée en z.
    Tu prouves, par un choix judicieux de k, que, pour r>0, cette boule contient un point z'=kz avec, suivant le cas, |z'|<r1 ou |z'|>r2 : la boule n'est pas contenue dans A.
    Avec un dessin de la couronne A, du point z sur le bord de la couronne, de la boule de centre z, il est immédiat que la boule «déborde» de la couronne.

  3. #3
    invite371ae0af

    Re : intérieur

    j'ai compris cela mais je n'arrive pas à déterminer le k puisque r1 et r2 je ne les connais pas
    je prend z' dans B(z,r) , |z'-z|<r ssi |kz-z|<r ssi |z| |k-1|<r
    mais après on ne peut pas trouver k?

  4. #4
    invite57a1e779

    Re : intérieur

    Si tu poursuis ta résolution plus loin, tu obtiens, pour réel positif: c'est-à-dire .

    On prend pour , et pour de façon à obtenir en dehors de la couronne.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invited5b2473a

    Re : intérieur

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    j'ai compris cela mais je n'arrive pas à déterminer le k puisque r1 et r2 je ne les connais pas
    je prend z' dans B(z,r) , |z'-z|<r ssi |kz-z|<r ssi |z| |k-1|<r
    mais après on ne peut pas trouver k?
    r1 et r2 valent...r1 et r2. Pour déterminer k, fais un dessin pour voir ce qui se passe.

  7. #6
    invite371ae0af

    Re : intérieur

    merci pour votre aide
    pour le cas |z'|=r2, k=1+(2r/r2)

  8. #7
    invite57a1e779

    Re : intérieur

    Plutôt avec le facteur 2 au dénominateur : ; ton est en dehors de la boule.

  9. #8
    invite371ae0af

    Re : intérieur

    oui exact, merci

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