intérieur

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour déterminer l'intérieur d'un ensemble:
soit0<r1<r2
A={z dans C: r1<=|z|<=r2}

je pense que l'intérieur de A est {z dans C, r1<|z|<=r2}
mais comment le montrer?
j'ai pensé à prendre E={z dans C, r1<|z|<=r2}=B(0,r2) inter C\B(0,r1)
E est ouvert et inclus dans A donc il est dans l'intérieur de A
par la suite je veux montrer que l'intérieur de A est E
2 cas à voir: |z|=r1 et |z|=r2
il faut donc que je montrer qu'il n'existe pas de r>0 tel que B(z,r) soit dans A

mais comment faire pour montrer qu'il n'existe pas de r?

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Pour prouver qu'un objet n'existe pas, on raisonne en général par contraposée ; ici : pour tout r>0, la boule B(z,r) n'est pas contenue dans A.

Tu considères un point z du bord de la couronne, avec |z|=r₁ ou |z|=r₂ et une boule B(z,r) centrée en z.
Tu prouves, par un choix judicieux de k, que, pour r>0, cette boule contient un point z'=kz avec, suivant le cas, |z'|<r₁ ou |z'|>r₂ : la boule n'est pas contenue dans A.
Avec un dessin de la couronne A, du point z sur le bord de la couronne, de la boule de centre z, il est immédiat que la boule «déborde» de la couronne.

[invite371ae0af]

j'ai compris cela mais je n'arrive pas à déterminer le k puisque r1 et r2 je ne les connais pas
je prend z' dans B(z,r) , |z'-z|<r ssi |kz-z|<r ssi |z| |k-1|<r
mais après on ne peut pas trouver k?

[invite57a1e779]

Si tu poursuis ta résolution plus loin, tu obtiens, pour réel positif: c'est-à-dire .

On prend pour , et pour de façon à obtenir en dehors de la couronne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

j'ai compris cela mais je n'arrive pas à déterminer le k puisque r1 et r2 je ne les connais pas
je prend z' dans B(z,r) , |z'-z|<r ssi |kz-z|<r ssi |z| |k-1|<r
mais après on ne peut pas trouver k?

r1 et r2 valent...r1 et r2. Pour déterminer k, fais un dessin pour voir ce qui se passe.

[invite371ae0af]

merci pour votre aide
pour le cas |z'|=r2, k=1+(2r/r2)

[invite57a1e779]

Plutôt avec le facteur 2 au dénominateur : ; ton est en dehors de la boule.

[invite371ae0af]

oui exact, merci