Intégrale sur R^3 d'une exponentielle complexe.

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous.

Dans mes cours (de physique), parfois on a des intégrales du style :



Et on dit que c'est égal à :

J'aimerai comprendre pourquoi (car en toute rigueur l'exp n'est pas lebesgue intégrable, l'intégrale n'est pas définie).

(J'ai juste des bases en maths, à la base je fais de la physique)

Merci.
-----

[invite23cdddab]

C'est effectivement un "truc de physicien" peu rigoureux. Le raisonnement qui permet d'écrire cette égalité c'est

1) Si f est une fonction intégrable, alors on peut définir sa transformée de Fourier par



2) Si T est une distribution tempérée, alors on peut définir sa transformée de Fourier (qui coïncide avec la définition précédente si T est une fonction intégrable)

3) La fonction f(x) = 1 est une distribution tempérée, et on peut calculer sa transformée de Fourier. On a (le Dirac en 0)

Jusque là, on fait des maths. Après on fait de la physique, en disant que, comme

on peut remplacer f(x) par 1, et en utilisant 3), on trouve



Ou alors, on peut prendre une suite de fonctions intégrables qui tend vers 1, et on écrit que




Ça revient à peu près au même. Il va sans dire que c'est très cavalier et pose de nombreux risques d'écrire des trucs qui n'ont aucun sens.

[invite8f6d0dd4]

Ok, merci !

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Désolé de revenir sur le sujet, mais en gros on est d'accord que l'intégrale que j'ai écrite, si on la fait proprement il s'agit en fait de la transformée de Fourier de la distribution

que ""j'évalue"" en : (quand je dis que je l'évalue en ce point là c'est à dire que quand je calculerai la TF de phi quand j'utiliserai la définition de la TF d'une distribution, je l'évaluerai en k-k')

Si je calcule la TF de cette distribution je vais trouver :



Ce que les physiciens écrivent :



Et comme , ils écrivent juste :



Ça revient bien à ce que tu voulais dire ?
Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]