espace bidual

[invite5780f60f]

Bonsoir,

Pourriez-vous m'éclairer sur le point suivant:
Soit X un espace vectoriel, X' son dual et X'' son bidual.
(1)On a X inclus dans X"
et (2) J(x)(f)=f(x) pour tout f dans X' avec J de X dans X''

J'ai du mal à comprendre comment on peut identifier (ici par l'inclusion) un espace vectoriel X (par exemple R^n) à un espace de forme linéaire X'' (les 2 espaces n'ont pas d'éléments de même nature à priori...)

De même pour le point (2) avec la fonction J.

Merci pour vos réponses,
Cordialement.
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[gg0]

Bonsoir.

Tu as raison, X" ne contient pas vraiment X, mais il contient une partie facilement définie qui est isomorphe à X par un isomorphisme simple. Cela provient du fait que si x est un élément de X, l'application de X' dans K définie par f-->f(x) est une forme linéaire sur X' (prouve-le). Ainsi, à chaque élément de X, on associe de façon évidente une forme linéaire sur X', un élément de X".
Je ne comprends pas trop ton 2, qui me semble lié à une preuve que tu n'as pas étudiée, qui est sans doute celle que je te présente ci-dessus. En tout cas, pour J quelconque, c'est faux.

Cordialement.

[invite5780f60f]

Merci beaucoup pour ta réponse, je vais essayer. Donc ce n'est pas un inclusion au sens ensembliste du terme, c'est bien ça?

[gg0]

On peut identifier X à la partie de X" correspondante. Dans ce cas, c'est bien une inclusion. mais il serait bon de regarder de près les textes mathématiques qui écrivent cela. Il y a normalement des explications.

En dimensions finie, il s'agit d'un isomorphisme canonique (*) entre X et X", et on considère alors (par identification) que le bidual de X est lui-même.

Cordialement.

(*) au sens où ça ne dépend pas d'une base.

[A voir en vidéo sur Futura]