Dual topologique et bidual

[invite25ea86a8]

Bonjour

j'ai un exercice sur lequel j'ai beaucoup de mal.

Soit E un espace de Banach réel, non réduit à {0} et ||.|| sa norme
On considère E' l'espace des formes linéaires continues sur E, (le dual topologique de E). Il est muni de la norme


Question 1 : Vérifier que E', muni de la norme est un espace de Banach.

J'ai fait cette question

On peut donc faire la meme construction que ci dessus à partir de E'. Cela donne E" des formes linéaires continues sur E', qui est muni de la norme
Question 2 :Montrer que pour tout , l'application est une forme linéaire continue sur E'. Quelle est sa norme ? (Indication utilisé le théorème de Hahn-Banach)

Alors j'ai essayer de la faire mais je n'y arrive pas.
Soit .
Soit l et l'
On a
Soit

Je ne vois pas montrer comment elle est continue
Est ce que E est un espace vectoriel ?

merci d'avance
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[invited5b2473a]

Tu peux montrer qu'elle est lipschitzienne.
Oui, oar définition.

[invite25ea86a8]

J'ai réussi à le montrer, je pense pouvoir me débrouiller pour la norme

Maintenant je dois montrer que l'image de E par l'application eval : E -> E" est un sous espace fermé de E" muni de la norme de E".
Bon la je vois pas trop. je peux y arriver avec la caractérisation par les suites ?

[invited5b2473a]

Oui tu peux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Tu peux également montrer que ton application est une isométrie ; comme E est un espace de Banach, l'image l'est également et elle est en particulier fermée.

[invite25ea86a8]

Merci !
c'est ce que j'ai fait et j'ai réussi (=

Comment je peux montrer que tout espace normé de dimension fini est réflexif ?

[Seirios]

Le dual d'un espace de vectoriel normé de dimension finie est de même dimension, donc un argument sur la dimension suffit (ton application de E dans E'' étant injective).

[invite25ea86a8]

Merci beaucoup j'ai réussi