bestiaire topologique ?

[invite244948ae]

Salut à vous,
j'ai découvert la topologie cette année et je suis fasciné par les axiomes de séparation. Pourtant, dans la plupart des livres que j'ai pu lire sur le sujet, le bouquin se contente du linéaire définition-théorème(s)/proposition(s)-exercices, et cela ne me convient pas.
Malgré mon intérêt pour cette discipline, je sens bien que je ne parviens pas à extraire la substantifique moëlle de la matière. J'aimerais comprendre entre autre pourquoi il existe autant de topologies du type T_x, qu'est-ce qui a motivé l'intérêt qu'on leur porte, comment tout ça s'est construit du point de vue historique, lesquelles jouent un rôle privilégié par rapport à d'autres plus anecdotiques, etc.
Un peu d'aide pour prendre de la hauteur sur le sujet serait la bienvenue, aussi je vous remercie par avance pour votre aide
-----

[invite986312212]

salut,

c'est une caractéristique de l'enseignement des maths en général - et pas seulement de la topologie - que l'on passe plus de temps à étudier les fondations d'une théorie qu'à voir des résultats intéressants. La topologie a été créée pour étudier de façon qualitative des questions géométriques, mais aujourd'hui on apprend surtout la topologie "générale" ou "ensembliste" qui ressemble plus à une extension de la théorie des ensembles (penser à la définition de la compacité en termes de sous-recouvrements) qu'à de la géométrie. Et on ne voit jamais dans un premier cours de topologie le théorème de Jordan sur les courbes fermées simples, ni le théorème du point fixe de Brouwer.

pour la question particulière des axiomes de séparation, je pense qu'une bonne partie du bestiaire provient de l'analyse fonctionnelle ou des probas: on y étudie des espaces de fonctions dans lesquels on peut définir divers types de convergence (de suites de fonctions), qui correspondent à des topologies variées qui sont plus ou moins séparées.

[invite244948ae]

Merci pour ta réponse ! En fait j'aimerais commencer par comprendre quelle est l'utilité de savoir qu'il existe par exemple des espaces T_2 et demi mais pas T_3.
En analyse fonctionnelle j'ai l'impression que la plupart du temps on demande au moins à avoir un espace de Banach à défaut d'avoir un espace Hilbert et c'est quand même extrêmement plus restrictif qu'un espace T_1 par exemple non ?

[invite986312212]

salut,

tu devrais peut-être jeter un coup d'oeil au bouquin de Steen & Seebach (counterexamples in topology).

et non, les espaces considérés en analyse fonctionnelle ne sont pas toujours des Hilbert, par exemple la topologie de la convergence presque-sûre n'est même pas métrisable.

[A voir en vidéo sur Futura]