Groupe topologique

[invite769a1844]

Bonsoir,

je cherche un exemple de groupe muni d'une topologie telle que la symétrie et les translations et sont des homéomorphismes
et tel que ce groupe muni de cette topologie ne soit pas un groupe topologique,
ie tel que

de n'est pas continue.

Merci pour votre aide.
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[invite35452583]

Un exemple non séparé : (Z,+) munie de la topologie cofinie. La topologie cofinie est celle dont les ouverts sont l'ensemble vide et les compléments des ensembles finis.
Pour l'opposé et ls translations (enfin la translation ici) sont trivialement continues.
Mais ouvert non vide + ouvert non vide= Z, assez facile à montrer. Donc l'image réciproque d'un ouvert non vide ne contient aucun ouvert non vide de Z² et n'est donc pas un voisinage de ces points qui existent. La somme n'est donc pas continue.

[invite769a1844]

Un exemple non séparé : (Z,+) munie de la topologie cofinie. La topologie cofinie est celle dont les ouverts sont l'ensemble vide et les compléments des ensembles finis.
Pour l'opposé et ls translations (enfin la translation ici) sont trivialement continues.
Mais ouvert non vide + ouvert non vide= Z, assez facile à montrer. Donc l'image réciproque d'un ouvert non vide ne contient aucun ouvert non vide de Z² et n'est donc pas un voisinage de ces points qui existent. La somme n'est donc pas continue.

ah oui je vois, merci homotopie, je ne connaissais pas cette topologie cofinie, elle s'applique sur n'importe quel ensemble?

[invite35452583]

ah oui je vois, merci homotopie, je ne connaissais pas cette topologie cofinie, elle s'applique sur n'importe quel ensemble?

Oui, elle s'applique à tout ensemble. Elle est bien pratique car elle permet notamment de montrer un résultat a priori surprenant : l'axiome du choix est équivalent dans ZF (axiomatique de Zermelo-Fraenkel) à "une intersection de compacts emboîtés est vide si et seulement si un des compacts est vide".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Oui, elle s'applique à tout ensemble. Elle est bien pratique car elle permet notamment de montrer un résultat a priori surprenant : l'axiome du choix est équivalent dans ZF (axiomatique de Zermelo-Fraenkel) à "une intersection de compacts emboîtés est vide si et seulement si un des compacts est vide".

ah oui j'ai encore du mal avec cette théorie ZF (pas trouvé encore assez de temps pour m'y mettre à fond dessus aussi), en cours on a vu que la théorie naïve des ensembles.

[invite769a1844]

Sur IR, quelle différence y a t'il entre la topologie cofinie et la topologie de Zariski, je trouve qu'elle se ressemble.

Il me semble que déjà comme différence, un nombre transcendant ne peut jamais être dans un fermé de Zariski tandis qu'il peut être dans un fermé de la topologie cofinie, mais je ne suis pas sûr.

[Médiat]

Sur IR, quelle différence y a t'il entre la topologie cofinie et la topologie de Zariski, je trouve qu'elle se ressemble.

Il me semble que déjà comme différence, un nombre transcendant ne peut jamais être dans un fermé de Zariski tandis qu'il peut être dans un fermé de la topologie cofinie, mais je ne suis pas sûr.

amha c'est pareil en dimension 1, je crois que tu fais une confusion, les polynomes utilisés dans la définition de Zariski (adaptée à IR) ne sont pas à coefficients rationnels, mais réels ; en particulier, chaque singleton (même transcendant) est un fermé.

[invite769a1844]

ah oui que je suis c**, je peux prendre le polynôme , avec réel quelconque même transcendant, merci Mediat. Et sur , elles diffèrent?

[Médiat]

Et sur , elles diffèrent?

Non, je ne crois pas (attention néanmoins, la topologie de Zariski n'est pas ma spécialité) car parmi les fermés de , dans la topologie de Zariski, tu vas trouver les solutions de X = 0, qui n'est pas fini (la solution c'est {0} x ).

Pour trouver des infos sur la topologie des co-finis tu peux faire une recherche sur "Filtre de Fréchet".

[invite769a1844]

Non, je ne crois pas (attention néanmoins, la topologie de Zariski n'est pas ma spécialité) car parmi les fermés de , dans la topologie de Zariski, tu vas trouver les solutions de X = 0, qui n'est pas fini (la solution c'est {0} x ).

Pour trouver des infos sur la topologie des co-finis tu peux faire une recherche sur "Filtre de Fréchet".

ah oui effectivement j'aurai du penser à cet exemple, c'est le filtre des convergences de suite en fait.