Bac+1 : intégration, changement de variable

[inviteeb38d38e]

Bonjour,

Je bloque actuellement sur un exercice. Il s'agit d'une intégration de fonction. Voici l'intégrale à calculer :



Pour commencer, je suis parti sur un changement de variable en posant :



Ceci me conduit à :



C'est ici que j'ai tenté d'utiliser les règles de Bioche, car on remarque qu'ici, f(pi + t) dt = f(t) dt

Je pose donc



Mais à partir d'ici, je n'arrive pas à simplifier l'expression de l'intégrale en t, pour aboutir à une forme dans laquelle il ne resterait que des tangentes, ainsi que l'expression de la variable.

Je parviens à transformer jusqu'ici :



Mais pour passer l'expression en intégrale de variable u, le cos²(t) restant au numérateur dans la première parenthèse m'embête...

Auriez-vous une idée lumineuse à me suggérer ?...
Merci
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[invitebb921944]

Bonjour.
cos²x/sin²x=1/sin²x-1
Une primitive de 1/sin²(x) est -1/tan(x)

[Flyingsquirrel]

Un "-" s'est perdu en cours de route. (celui de dx=-sin(t)dt)

Je pose donc

fait apparaître une forme sympathique dans l'intégrale.

[God's Breath]

Tout le début est bon jusqu'à :

C'est ici que j'ai tenté d'utiliser les règles de Bioche, car on remarque qu'ici, f(pi + t) dt = f(t) dt

Je pose donc



Mais à partir d'ici, je n'arrive pas à simplifier l'expression de l'intégrale en t, pour aboutir à une forme dans laquelle il ne resterait que des tangentes, ainsi que l'expression de la variable.

Je parviens à transformer jusqu'ici :



Mais pour passer l'expression en intégrale de variable u, le restant au numérateur dans la première parenthèse m'embête...

Auriez-vous une idée lumineuse à me suggérer ?...
Merci

On a le célèbre qui arrange tout.`

En fait il vaut mieux faire le changement de variable en différentiant sous la forme d'où , doù avec des bornes à déterminer.

Comme je suis un vieux de la vieille, je connais encore la fonction cotangente et sa dérivée, qui permettait une intégration plus rapide.

Si tu avais posé au départ, tu te serais retrouvé avec , et que l'on primitive à vue puisque l'on reconnaît en la dérivée de

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Un "-" s'est perdu en cours de route. (celui de dx=-sin(t)dt)

Il l'a déjà pris en compte en inversant les bornes de l'intégrale

[inviteeb38d38e]

Merci pour toutes vos réponses il est vrai que je n'ai pas choisi le chemin le plus facile...

Je finis tout de même l'exercice s'il y en a que ça intéresse :

On part en posant x = sin(t)



Finalement