Intégration par changement de variable

[invitea74569ea]

Bonsoir!

Je travaille sur un bouquin d'exercice et j'ai du mal à comprendre certaines corrections, voir à m'en sortir par moi-même, ce pourquoi j'espère trouver des réponses à mes questions via le forum..

Comment calculer l’intégral de 0 à π/4:
Tan^3 x dx. Avec u= tan comme variable ?
Sortant d’un bac ES, je maîtrise mal la trigonométrie et je ne sais comment m’y prendre. En passant par cos x, sin x ? De plus j’ai du mal à comprendre la différence entre tan^3 x et (tan x)^3 ..

Dans l’intégral de 0 à 2 :
X² / (2+x^3)
Je trouve (-1/3) avec dans l’intégral (2 à 10) : du / u
Or, la correction de l’exercice ne fait pas apparaître de signe négatif à (-1/3) et affiche (1/3), comment est-ce possible ?

Merci pour votre attention!
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[invite1237a629]

Plop,

tan^3 (x) c'est la même chose que (tan(x))^3
u = tan(x)
Si x = 0, u = ?
Si x = pi/4, u = ?
Donc il faut calculer l'intégrale de ? à ? u^3 du

du est à déterminer.
donc on fait cela : du = d(tan(x)) = dx * (1+tan²(x)) = dx*(1+u²) => dx = ?
(il y a deux formules à la dérivée de la tangente, les deux étant déduites en dérivant sin/cos)

Et donc réécris avec ces nouveaux éléments =)

[invite0f472324]

slt,
moi j'aurai plutot ecrit tan(x)^3=tan(x) (1+tan^2(x)-1)
et donc on obtient l'integrale sur les borne a determiner de (u-u/(1+u^2)du qui est plus simple a calculer que l'integrale de u^3/(1+u^2) non ?

[invite1237a629]

Euh...

u^3/(1+u²) = u - u/1+u² ... il suffit de sortir 1+u² du numérateur =D

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea74569ea]

Bonsoir MiMoiMolette!

Voici ce que j'ai pu trouver:
Si x=0, u==0
Si x=π/4, u=1

Donc intégrale de 0 à 1, u^3 du
du = dx(1 / cos²x) = dx(1 + tan²x)
soit dx = du / (1+u²)

ce qui donne l’intégrale de 0 à 1 :
(u^3 * du) / (1+u²)

Par contre, je ne vois pas comment trouver sa primitive, je n'arrive pas à sortir le 1+u² .. Doit-on chercher une primitive en ln?

[invite1237a629]

C'est déjà bon comme cela

Ensuite, poulecaca a donné une autre méthode qui te fera arriver au résultat désiré.

Essaie de faire la division euclidienne de u^3 par u²+1.
Ou plus simplement remarquer que u^3 = u^3 + u - u = u(u²+1) - u

[invitea74569ea]

Merci!

Je retrouve bien u - [u / (u²+1) ] avec la division euclidienne et ta remarque

J'en déduis donc comme primitive:
[u²/2] - 2[ln(1+u²)]

Est-ce juste?

[invite8241b23e]

Salut !

J'aurais dit 1/2ln(...) plutôt que 2ln(...)

[invitea74569ea]

Oui,
[u²/2] - (1/2)[ln(1+u²)]

Merci!

[invitea74569ea]

Bonsoir à tous!

Est-ce quelqu'un pourrait m'expliquer cette égalisation s'il vous plaît?

-1 + [1/sin(pi/4)] = 2^(1/2) - 1

Merci !!

[invitea74569ea]

Tant que j'y suis...
j'ai aussi du mal à comprendre:

dv = 2^x . dx
=>
v = 2^x / ln2

Merci..

[invite57a1e779]

Bonsoir à tous!

Est-ce quelqu'un pourrait m'expliquer cette égalisation s'il vous plaît?

-1 + [1/sin(pi/4)] = 2^(1/2) - 1

Merci !!

Il se pourrait que

[invite57a1e779]

Tant que j'y suis...
j'ai aussi du mal à comprendre:

dv = 2^x . dx
=>
v = 2^x / ln2

Merci..

Il faut écrire et reconnaître en la dérivée de .

On en déduit en fait mais, comme je suppose qu'il s'agit d'une intégration par parties, on choisit

[invitea74569ea]

Merci pour ta réponse, c'est justement la racine même que je ne comprenais pas...je vais m'en tenir au résultat..

[invitea74569ea]

Suite au second message je te remercie pour toutes ces précisions qui m'ont permis de bien comprendre l'exercice!

merci pour ton attention

[invitea74569ea]

Bonjour!

Je cherche une petite aide..suite à un calcul intégrale, une solution me donne:

(1/2) integrale de (1/(1-t)) + (1/2) intégrale de (1/(1+t))
= (1/2) [ - ln(1-t)] + (1/2) [ln |1+t| ]

J'aimerais savoir pourquoi il doit y avoir [- ln(1-t)] comme primitive au 1er terme, et pourquoi il n'est pas possible d'écrire [+ ln(1-t)].
Un rapport avec les valeurs absolues?

Merci beaucoup!

[inviteaf1870ed]

Parce que la dérivée de ln(u) c'est u'/u. Or ici u=1-t, donc u'=-1...