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Convergence de la suite sin(n)/n



  1. #1
    Von_Der_Barbecue

    Convergence de la suite sin(n)/n


    ------

    Que pensez-vous de la somme des termes de la suite
    << sin(n)/n >>
    Beaucoup de bien j'espère ; )

    Mon intuition mathématique me persuade qu'elle converge.. mais de la à le démontrer.. Quelqu'un aurait t'il une idée ??
    Déja démontrer que la somme des termes de sin(n) diverge est une sacrée histoire mais alors ça...

    n.b je précise que je ne suis pas étudiant en math, j'en fais juste pour la rigolade, donc ayez pitié et précisez l'origine de vos développements les plus exotiques.

    Merci ; )

    -----

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  3. #2
    erff

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Bonjour, il faut utiliser la transformation d'Abel pour arriver à tes fins
    http://www.bibmath.net/dico/index.ph...eltransfo.html
    Qualitativement, cette transformation est aux suite ce que l'intégration par partie est aux fonctions. Et comme l'IPP permet de démontrer que intégrale de sin(x)/x sur [1,+oo[ existe...

    Bon divertissement

  4. #3
    homotopie

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Avec la transformation d'Abel, tu as transfomé ta série en la somme d'un terme constant (a0(b0 -b1)) + un terme isolé (Anbn) +
    bn=1/n tend vers 0 bk-bk-1-1=1/k-1/(k-1)=-1/(k(k-1)) sont tout disposé à fire converger ce terme isolé et cette série, il suffit que les An soient bornés pour conclure.
    Cette majoration on l'obtient par une technique classique :

    et le quotient dont on prend la partie imaginaire reste à distance finie.

  5. #4
    CM63

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Citation Envoyé par Von_Der_Barbecue Voir le message
    Que pensez-vous de la somme des termes de la suite
    << sin(n)/n >>
    Beaucoup de bien j'espère ; )

    Mon intuition mathématique me persuade qu'elle converge.. mais de la à le démontrer.. Quelqu'un aurait t'il une idée ??
    Déja démontrer que la somme des termes de sin(n) diverge est une sacrée histoire mais alors ça...

    n.b je précise que je ne suis pas étudiant en math, j'en fais juste pour la rigolade, donc ayez pitié et précisez l'origine de vos développements les plus exotiques.

    Merci ; )
    Elle peut être majorée par K sin(x)/x donc elle converge.

  6. #5
    CM63

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Citation Envoyé par Von_Der_Barbecue Voir le message
    n.b je précise que je ne suis pas étudiant en math, j'en fais juste pour la rigolade, donc ayez pitié et précisez l'origine de vos développements les plus exotiques.

    Merci ; )
    Ah oui alors je précise : il y a un théorème qui dit : si une série peut être majorée par la fonction correspondante, et si la fonction correspondante est in tégrable sur [a,+ l'infini], alors la série est convergente.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    erff

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Ca marcherait pour une série à termes positifs...là je crains qu'on ne soit obligé de passer par une transformation d'Abel.

    Sauf erreur

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  10. #7
    MiMoiMolette

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Plop,

    Ok, mais la série des 1/k diverge non ? C'est quoi le K ?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  11. #8
    CM63

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Ca marcherait pour une série à termes positifs...là je crains qu'on ne soit obligé de passer par une transformation d'Abel.

    Sauf erreur
    A oui, pardon, c'est pas si évident que cela. Et la série sin(n)/n n'est même pas non plus alternée.

  12. #9
    acx01b

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Bonjour



  13. #10
    Gwyddon

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Hello,

    J'ai des doutes sur le théorème que tu emploies... Es-tu sûr des hypothèses de ce théorème ? N'as-tu pas quelque part la condition de positivité sur la suite des vk ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    erff

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Toujours est il que la transormation d'Abel marche pour cet exo : je l'avais eu en khôlle...

    Apres il y a peut être plus simple...

  15. #12
    Antho07

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    sauf erreur de ma part la regle d 'abel fonctionne tres bien ici.

    La regle d'abel dit ceci: on etudie la serie somme des xn

    si on a pour tout n,
    tels que

    i) La suite est reelle, decroissante et tend vers 0.

    ii) il existe M réel tel que pour tout n dans N


    alors est convergente.


    ici on prend an=1/n

    et Un=sin n.

    et on majore Un par

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    En fait je suis en train de me dire que le théorème invoqué par acx01b revient à utiliser Abel justement...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    Antho07

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    oui moi aussi je l'ai vu apres...

  19. #15
    Von_Der_Barbecue

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    D'accord, bon je commence à comprendre la technique d'Abel,

    j'avais aussi intuitivement imaginé le théorême cité par acx ("la somme des n premiers termes de la suite .. cf plus haut"), mais ça me semble un peu facile comme raisonnement d'employer un tel théorême, d'autant plus que ça ne précise pas la convergence.

    j'ai par contre des problêmes avec la mise en forme :
    1-e^(n+1)i
    ----------
    1-e^(i)

    d'ou sort-elle ?? Est-elle facilement retrouvable ??

    P.S: J'offre une cuillère à soupe Knorr à celui qui trouve le lieu de congergence.

  20. #16
    Von_Der_Barbecue

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    oubliez ce que j'ai dit sur l'incompréhension de cette notation, j'ai eu un moment d'absence sur les propriétés de la suité géométrique
    (je parle de la notation entre guillements cité plus haut)

  21. #17
    homotopie

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    En fait je suis en train de me dire que le théorème invoqué par acx01b revient à utiliser Abel justement...
    Je crois même (euphémisme) que cela s'appelle la règle d'Abel ce qui se montre directement à partir de la transformation d'Abel.
    On a en gardant les notations du document de erff et en notant M un majorant des Ak :

    Les deux premiers termes sont constants, le troisième est le produit d'un borné et d'une suite qui tend vers 0 donc tend vers 0, la convergence ne dépend donc plus que de la série à droite. Or, on peut majorer le module de celle-ci ainsi :
    , or par décroissance lbk-bk-1l=bk-1-bk, d'où ça se télescope et on obtient comme majoration M(b0-bn) ou encore M.b0.
    La série est donc absolument convergente donc convergente et la série initiale converge.

    Maintenant, pour la série en question la transformation d'Abel (post#2) (on obtient une série avec du 1/(k(k-1)) donc pas de problème pour la convergence) + la majoration des sommes sin(1)+...+sin(n) (post#3) sont largement suffisants.

  22. #18
    Von_Der_Barbecue

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Merci pour vos réponses, particulièrement celle de acx, son théorême une fois admit, la question de l'existence de la convergence est presque dérisoire...

    J'en reviens à mon post plus haut, n'est ce pas un peu facile de citer un tel théorême ?? Imaginons à un exam, comment cela serait t-il vu ??


    J'en reviens aussi à ma deuxième question qui reste (volontairement ?) complètement ignorée :

    Vers quoi converge cette série ?

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  24. #19
    Gwyddon

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Je crois même (euphémisme) que cela s'appelle la règle d'Abel ce qui se montre directement à partir de la transformation d'Abel.
    Vivi c'est ce que je voulais dire, en fait cette règle je ne m'en rappelle jamais vu que c'est une application élémentaire de la transfo d'Abel
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  25. #20
    erff

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Si tu ne connais pas le thm (moi non plus je ne le connaissais pas), utilise la transformation d'Abel (ca par contre je connaissais), c'est classique comme truc (un peu comme l'intégration par partie avec les intégrales) : ca revient à démontrer le théorème dans le cas particulier qui t'interesse.

    Sinon je n'ai aucune idée de la valeur de la limite, ça doit être un truc vraiment moche à mon avis...

  26. #21
    Von_Der_Barbecue

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Heu, je viens de faire des recherches sur cette suite et le premier lien de google

    => http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?foru...;msg=0360.0001

    renvoie sur un forum ou quelqu'un affirme que la série donne (Pi-1)/2

    bon de toute façon je pense être arrivé à mes limites avec le post de homotopie, donc bonne (éventuelle ; ) ) continuation

  27. #22
    acx01b

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Bonjour, le thoérème que j'utilise on l'a vu en cours, et il me semble assez facile à démontrer, il suffit de montrer le critère de Cauchy sur la série

    on a somme de a à n des u(k) qui est bornée (comprise entre m et M)
    on a v(n) décroissante et qui tend vers 0

    donc la somme de a à n des u(k)v(k) est comprise entre v(a).m et v(a).M
    donc comme v(a) est aussi petit que l'on veut on a le critère de Cauchy sur la série des u(n)v(n)

    je me trompe ?

  28. #23
    Gwyddon

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    [QUOTE=Von_Der_Barbecue;1521035]Heu, je viens de faire des recherches sur cette suite et le premier lien de google

    => http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?foru...;msg=0360.0001

    renvoie sur un forum ou quelqu'un affirme que la série donne (Pi-1)/2

    Hello,

    J'y réfléchis un peu depuis quelques jours, et j'avoue qu'aucune idée concluante me calculer cette somme... Des idées ici ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  29. #24
    ericcc

    Re : Convergence de la suite sin(n)/n

    Le forum donne deux méthodes pour calculer la somme. Série de Fourier, ou développement de -log(1-z)=sum z^n/n, on prend z=e^i, ma somme devient
    -log(1-e^i) = sum (cos(n)+isin(n))/n
    On prend les parties réelles et imaginaires des deux côtés.

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