Convergence de la suite sin(n)/n

invite934e4635 · 02/02/2008, 00h34

Que pensez-vous de la somme des termes de la suite
<< sin(n)/n >>
Beaucoup de bien j'espère ; )

Mon intuition mathématique me persuade qu'elle converge.. mais de la à le démontrer.. Quelqu'un aurait t'il une idée ??
Déja démontrer que la somme des termes de sin(n) diverge est une sacrée histoire mais alors ça...

n.b je précise que je ne suis pas étudiant en math, j'en fais juste pour la rigolade, donc ayez pitié et précisez l'origine de vos développements les plus exotiques.

Merci ; )

**erff** · 02/02/2008, 06h38

Bonjour, il faut utiliser la transformation d'Abel pour arriver à tes fins

http://www.bibmath.net/dico/index.ph...eltransfo.html
Qualitativement, cette transformation est aux suite ce que l'intégration par partie est aux fonctions. Et comme l'IPP permet de démontrer que intégrale de sin(x)/x sur [1,+oo[ existe...

Bon divertissement

**invite35452583** · 02/02/2008, 08h33

Avec la transformation d'Abel, tu as transfomé ta série en la somme d'un terme constant (a₀(b0 -b₁)) + un terme isolé (A_nb_n) + $\text{[math]}$
b_n=1/n tend vers 0 b_k-b_k-1-1=1/k-1/(k-1)=-1/(k(k-1)) sont tout disposé à fire converger ce terme isolé et cette série, il suffit que les A_n soient bornés pour conclure.
Cette majoration on l'obtient par une technique classique :
$\text{[math]}$
et le quotient dont on prend la partie imaginaire reste à distance finie.

**CM63** · 02/02/2008, 09h02

Envoyé par Von_Der_Barbecue

Que pensez-vous de la somme des termes de la suite
<< sin(n)/n >>
Beaucoup de bien j'espère ; )

Mon intuition mathématique me persuade qu'elle converge.. mais de la à le démontrer.. Quelqu'un aurait t'il une idée ??
Déja démontrer que la somme des termes de sin(n) diverge est une sacrée histoire mais alors ça...

n.b je précise que je ne suis pas étudiant en math, j'en fais juste pour la rigolade, donc ayez pitié et précisez l'origine de vos développements les plus exotiques.

Merci ; )

Elle peut être majorée par K sin(x)/x donc elle converge.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**CM63** · 02/02/2008, 09h05

Envoyé par Von_Der_Barbecue

n.b je précise que je ne suis pas étudiant en math, j'en fais juste pour la rigolade, donc ayez pitié et précisez l'origine de vos développements les plus exotiques.

Merci ; )

Ah oui alors je précise : il y a un théorème qui dit : si une série peut être majorée par la fonction correspondante, et si la fonction correspondante est in tégrable sur [a,+ l'infini], alors la série est convergente.

**erff** · 02/02/2008, 09h17

Ca marcherait pour une série à termes positifs...là je crains qu'on ne soit obligé de passer par une transformation d'Abel.

Sauf erreur

**invite1237a629** · 02/02/2008, 09h17

Plop,

Ok, mais la série des 1/k diverge non ? C'est quoi le K ?

**CM63** · 02/02/2008, 09h41

Envoyé par erff

Ca marcherait pour une série à termes positifs...là je crains qu'on ne soit obligé de passer par une transformation d'Abel.

Sauf erreur

A oui, pardon, c'est pas si évident que cela. Et la série sin(n)/n n'est même pas non plus alternée.

**acx01b** · 02/02/2008, 11h04

Bonjour

$\text{[math]}$

**Gwyddon** · 02/02/2008, 11h40

Hello,

J'ai des doutes sur le théorème que tu emploies... Es-tu sûr des hypothèses de ce théorème ? N'as-tu pas quelque part la condition de positivité sur la suite des vk ?

**erff** · 02/02/2008, 12h01

Toujours est il que la transormation d'Abel marche pour cet exo : je l'avais eu en khôlle...

Apres il y a peut être plus simple...

invite7ffe9b6a · 02/02/2008, 12h02

sauf erreur de ma part la regle d 'abel fonctionne tres bien ici.

La regle d'abel dit ceci: on etudie la serie somme des xn

si on a pour tout n, $\text{[math]}$
tels que

i) La suite $\text{[math]}$ est reelle, decroissante et tend vers 0.

ii) il existe M réel tel que pour tout n dans N $\text{[math]}$

alors $\text{[math]}$ est convergente.

ici on prend an=1/n

et Un=sin n.

et on majore Un par $\text{[math]}$

**Gwyddon** · 02/02/2008, 12h05

En fait je suis en train de me dire que le théorème invoqué par acx01b revient à utiliser Abel justement...

invite7ffe9b6a · 02/02/2008, 12h21

oui moi aussi je l'ai vu apres...

invite934e4635 · 02/02/2008, 12h43

D'accord, bon je commence à comprendre la technique d'Abel,

j'avais aussi intuitivement imaginé le théorême cité par acx ("la somme des n premiers termes de la suite .. cf plus haut"), mais ça me semble un peu facile comme raisonnement d'employer un tel théorême, d'autant plus que ça ne précise pas la convergence.

j'ai par contre des problêmes avec la mise en forme :
1-e^(n+1)i
----------
1-e^(i)

d'ou sort-elle ?? Est-elle facilement retrouvable ??

P.S: J'offre une cuillère à soupe Knorr à celui qui trouve le lieu de congergence.

invite934e4635 · 02/02/2008, 12h52

oubliez ce que j'ai dit sur l'incompréhension de cette notation, j'ai eu un moment d'absence sur les propriétés de la suité géométrique
(je parle de la notation entre guillements cité plus haut)

**invite35452583** · 02/02/2008, 14h05

Envoyé par Gwyddon

En fait je suis en train de me dire que le théorème invoqué par acx01b revient à utiliser Abel justement...

Je crois même (euphémisme) que cela s'appelle la règle d'Abel ce qui se montre directement à partir de la transformation d'Abel.
On a en gardant les notations du document de erff et en notant M un majorant des A_k :
$\text{[math]}$
Les deux premiers termes sont constants, le troisième est le produit d'un borné et d'une suite qui tend vers 0 donc tend vers 0, la convergence ne dépend donc plus que de la série à droite. Or, on peut majorer le module de celle-ci ainsi :
$\text{[math]}$ , or par décroissance lb_k-b_k-1l=b_k-1-b_k, d'où ça se télescope et on obtient comme majoration M(b₀-b_n) ou encore M.b₀.
La série $\text{[math]}$ est donc absolument convergente donc convergente et la série initiale converge.

Maintenant, pour la série en question la transformation d'Abel (post#2) (on obtient une série avec du 1/(k(k-1)) donc pas de problème pour la convergence) + la majoration des sommes sin(1)+...+sin(n) (post#3) sont largement suffisants.

invite934e4635 · 02/02/2008, 15h01

Merci pour vos réponses, particulièrement celle de acx, son théorême une fois admit, la question de l'existence de la convergence est presque dérisoire...

J'en reviens à mon post plus haut, n'est ce pas un peu facile de citer un tel théorême ?? Imaginons à un exam, comment cela serait t-il vu ??

J'en reviens aussi à ma deuxième question qui reste (volontairement ?) complètement ignorée :

Vers quoi converge cette série ?

**Gwyddon** · 02/02/2008, 15h04

Envoyé par homotopie

Je crois même (euphémisme) que cela s'appelle la règle d'Abel ce qui se montre directement à partir de la transformation d'Abel.

Vivi c'est ce que je voulais dire, en fait cette règle je ne m'en rappelle jamais vu que c'est une application élémentaire de la transfo d'Abel

**erff** · 02/02/2008, 15h30

Si tu ne connais pas le thm (moi non plus je ne le connaissais pas), utilise la transformation d'Abel (ca par contre je connaissais), c'est classique comme truc (un peu comme l'intégration par partie avec les intégrales) : ca revient à démontrer le théorème dans le cas particulier qui t'interesse.

Sinon je n'ai aucune idée de la valeur de la limite, ça doit être un truc vraiment moche à mon avis...

invite934e4635 · 02/02/2008, 15h43

Heu, je viens de faire des recherches sur cette suite et le premier lien de google

=> http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?foru...;msg=0360.0001

renvoie sur un forum ou quelqu'un affirme que la série donne (Pi-1)/2

bon de toute façon je pense être arrivé à mes limites avec le post de homotopie, donc bonne (éventuelle ; ) ) continuation

**acx01b** · 03/02/2008, 17h04

Bonjour, le thoérème que j'utilise on l'a vu en cours, et il me semble assez facile à démontrer, il suffit de montrer le critère de Cauchy sur la série

on a somme de a à n des u(k) qui est bornée (comprise entre m et M)
on a v(n) décroissante et qui tend vers 0

donc la somme de a à n des u(k)v(k) est comprise entre v(a).m et v(a).M
donc comme v(a) est aussi petit que l'on veut on a le critère de Cauchy sur la série des u(n)v(n)

je me trompe ?

**Gwyddon** · 08/02/2008, 09h33

[QUOTE=Von_Der_Barbecue;1521035]Heu, je viens de faire des recherches sur cette suite et le premier lien de google

=> http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?foru...;msg=0360.0001

renvoie sur un forum ou quelqu'un affirme que la série donne (Pi-1)/2

Hello,

J'y réfléchis un peu depuis quelques jours, et j'avoue qu'aucune idée concluante me calculer cette somme... Des idées ici ?

**ericcc** · 08/02/2008, 09h43

Le forum donne deux méthodes pour calculer la somme. Série de Fourier, ou développement de -log(1-z)=sum z^n/n, on prend z=e^i, ma somme devient
-log(1-e^i) = sum (cos(n)+isin(n))/n
On prend les parties réelles et imaginaires des deux côtés.

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