Espace de banach

[invite25ea86a8]

Bonsoir

On considère l'espace formé des suites réelles telles que , muni de la norme
Pour i dans on défini la suite de terme général , autrement dit la n ayant qu'un terme non nul, de valeur 1, situé au rang i.

a) Montrer que E est un espace de banach
j'ai réussi cette question

b) Montrer que le sous espace F de E formé des suites n'ayant qu'un nombre fini de terme non nuls est dense dans E.

Pour cette question je n'arrive pas trop à me débrouiller. J'ai pensé que je pouvais peut etre utiliser le théorème de Baire qui dit que dans un espace vectoriel complet, une intersection dénombrable (resp. union dénombrable) d'ouverts denses (resp fermés denses) est dense.

Est ce que je peux décomposer mon ensemble F en une union dénombrable de fermé dense de F ?
F est clairement l'union de tous les singletons des suites n'ayant qu'un nombre fini de terme et ces singletons sont des fermés de F. Mais pour la densité, je vois pas. Donc je suis surement sur une mauvaise piste :/

Merci d'avance
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[inviteea028771]

En fait ici tu peux facilement, en ayant un élément x arbitraire de E, construire une suite d'éléments x_n de F qui converge vers x

Et tu aura alors prouvé que F est dense dans E puisque chaque élément de E est limite d'une suite d'éléments de F.

Ici la suite est simple a construire : x_n est la suite composée des n premiers termes de x, les autres étant nuls. Il faut ensuite montrer que cette suite converge, mais c'est assez simple (calcul de ||x-xn|| et un argument assez simple suffit)

[invite25ea86a8]

On s'appuie sur cette définition : l'ensemble A dans un espace métrique X est dense si tout élément x de X est la limite d'une suite d'éléments de A.

Soit . Soit
Il faut que je montre que pour tout , il existe tel que pour tout

Soit


Or on a par hypothèses, donc il existe tel que pour tout
or
Donc pour k > N on a le résulat

c'est juste ?