Bonjour,
Voila, on me demande si les groupes (Q,+) et (Q*,*) sont isomorphes ? Je sais que pour montrer que deux groupes sont isomorphes on doit montrer qu'il existe un isomorphisme allant de (Q,+) vers (Q*,*) mais je ne vois pas trop comment procéder... si une âme brave pourrait me donner un indice
Merci
Bonjour,
Je me rappelle avoir eu cette question en colle en première année, la solution est en fait toute simple : considère l'équationdans
If your method does not solve the problem, change the problem.
Peut-être que si tu n’arrives pas à montrer qu’ils sont isomorphes, c’est peut-être qu’ils ne le sont pas !
Indication : Dans (Q, +), combien d’élements sont égaux à leur opposé ? Et dans (Q*,*), combien sont égaux à leur inverse ?
1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3
Bonjour,
La même formule translatée par un isomorphisme devient dans
Ces deux structures ne sont pas élémentairement équivalentes (elles ne vérifient pas les mêmes formules), elles ne peuvent donc pas être isomorphes.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
sinon, moins élémentaire : il existe dans le groupe multiplicatif des sous-groupes à 2 générateurs (par exemple (-2,2) ) mais pas dans le groupe additif.
au fait, question: existe-t-il des corps dont les deux groupes sont isomorphes?
Merci de vos reponses mais j'ai du mal a imaginer des équations avec des groupes je ne suis pas trop familier avec ces concepts en fait... mais si j'ai bien compris on doit montrer en gros la non injectivite d'un morphisme reliant ces deux groupes ?
non, l'idée c'est que si 2 groupes sont isomorphes, alors toute équation dans un groupe, si tu la "traduis" dans l'autre groupe (i.e. en gardant la même forme mais en remplaçant la loi du premier par la loi du second et le neutre du premier par le neutre du second), a les mêmes propriétés que l'équation d'origine, c'est-à-dire le même nombre de solutions. ainsi x+x=0 a une solution unique dans (Q,+) alors que traduite dans (Q*,x) elle devient x*x=1 qui a 2 solutions (1 et -1), ce qui prouve le non isomorphisme.
Dernière modification par toothpick-charlie ; 30/11/2012 à 20h02.
ok mais si les equations admettent toutes les deux deux solutions ?
dans ce cas il faut chercher une autre équation. Et puis si les groupes sont en fait isomorphes, on peut chercher longtemps... mais ça c'est général : on ne trouve une démonstration que quand on a intuité la réponse.
Merci par contre il me vient une question comment résoudre x+x=0 et x*x=1 car en utilisant seulement la loi du groupe je ne vois pas comment procéder... merci
Dans un groupe additif, l'équation x+x=0 a au moins une solution. mais elle peut en avoir plusieurs. Par exemple dans le groupe dont les éléments sont 0 et 1 avec 1+1=0 (et 0 a son rôle habituel), l'équation a deux solutions.
Cordialement.
Attention : Verifier les mêmes équations est nécessaire mais non suffisant pour que deux deux structures soient isomorphes.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ok mais par exemple dans (Q, +) et (Q*, *) comment faire ?
Merci
Quel intérêt ??
Tu n'as apparemment pas compris qu'ils ne sont pas isomorphes et qu'on le montre en prouvant qu'une équation qui a des solutions dans l'un n'en a pas dans l'autre. Mais une équation bien choisie (pour que ça coince). Toi tu proposes des équations qui ne posent pas de problème et qui ont des solutions qui se correspondent pas l'isomorphisme éventuel (0 et 1). Et les résoudre est facile, non ? Bien sûr, on n'utilise pas que la loi de groupe, puisqu'on connaît plein de choses sur Q.
Donc relis bien ce qui t'a été expliqué.
Cordialement.
Mais justement c'est bien sa qui me pose un problème dans un groupe on ne peut utiliser que la loi du groupe non ?
Une manière de voir les choses est de dire que
If your method does not solve the problem, change the problem.
Envoyé par jules345
Bonjour,
Voila, on me demande si les groupes (Q,+) et (Q*,*) sont isomorphes ? Je sais que pour montrer que deux groupes sont isomorphes on doit montrer qu'il existe un isomorphisme allant de (Q,+) vers (Q*,*) mais je ne vois pas trop comment procéder... si une âme brave pourrait me donner un indice
Merci
Je trouve beaucoup plus intéressant d'étudier l'isomorphisme dans les sciences sociales beaucoup plus que ce genre de formules tautologiques.
La preuve repose notamment sur l'irrationalité de la racine de 2, ce qui se montrer en utilisant un peu d'arithmétique et donc on passe par la structure d'anneau des rationnels.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Je ne vois pas vraiment de rapport avec la présente discussion
If your method does not solve the problem, change the problem.
tant mieux, il en faut pour tous les goûts. Et puis heureusement que tout le monde n'étudie pas la question de l'isomorphisme entre (Q,+) et (Q*,x), les mathématiques en seraient largement moins riches!
au fait : personne n'a d'idée sur l'existence ou non d'un corps dont le groupe additif et le groupe multiplicatif sont isomorphes?
@jules345 :
Bien sûr que non ! Sinon, cela voudrait dire que tu veux démontrer l'isomorphisme de deux groupes sans utiliser ce que sont ces groupes. Donc démontrer l'isomorphisme de tous les groupes !!!dans un groupe on ne peut utiliser que la loi du groupe non ?
Bien entendu, tu vas utiliser les propriétés de
Rien à voir avec un exercice où on te parle d'un groupe non défini. Dans lequel tu ne connais comme propriétés que celles du groupe.
Cordialement.
Bonjour,
L'idée qui fonctionne sur Q se transpose verbatim au cas de n'importe quel corps (en faisant attention au cas de carracteristique 2 néanmoins).
L'ensemble des entiers naturels et l'ensembles des nombres pairs peut être...
En tout cas continue à poster des messages. Tu es un pédagogue hors pair!
L'ensemble des entiers naturels est loin d'être un corps...
If your method does not solve the problem, change the problem.
... et l'ensemble des entiers pairs n'a même pas d'unité.
hhhmmmmmouais (je deviens feignant avec l'âge...)
Ben, il suffit de regarder les elements d'ordre 2 dans les deux cas.
ah pardon, en fait j'avais compris. Ma remarque signifiait que j'aurais pu y penser si j'avais réfléchi un peu. Mais merci quand-même.
Merci pour vos messages mais j'ai un peu de mal a imaginer cela je vois bien le raisonnement certes mais peut on par exemple pour revenir au sujet principal construire un morphisme allant de (Q,+) vers (Q*,*) et montrer la non injectivite de ce morphisme un peu comme on le fait avec l'eponentielle complexe, car pour vous peut être que les équations dans les groupes vous parlent mais ce n'est pas mon cas, en cours mis a part la définition d'un groupe, d'un sous groupe, et de quelques exemple de grouoes usuelles nousn'avons fait que cela. Merci encore e bien vouloir m'aider
Ok, allons y pas à pas.
Soit f un supposé isomorphisme de Q^* sur Q, alors (-1) et 1 verifent tous les deux (-1)²=1²=1, on a donc 2f(1)=2f(-1)=f(1)=0, mais dans Q si un element x verifie 2x=0, alors x=0, donc f(-1)=f(1)=0, mais cela contredit l'injectivité de f.
