ordre d'un élément d'un groupe, isomorphismes de groupes

[invitec1942a00]

Bonsoir,
Voilà le problème que j'ai à traiter :
1 - Déterminer les ordres des éléments du groupe Z/2Z x Z/2Z. En déduire que les groupes Z/2Z x Z/2Z et Z/4Z ne sont pas isomorphes.
2 - Montrer que tous les éléments x du groupe Z/6Z x Z/10Z vérifient la relation 30x=0. En déduire que les groupes Z/6Z x Z/10Z et Z/60Z ne sont pas isomorphes.
3 - Soient M et N deux entiers naturel dont le pgcd n'est pas égal à 1. Montrer que les groupes Z/NZ x Z/MZ et Z/MNZ ne sont pas isomorphes.

Pour le 1 - Z/2Z x Z/2Z = { (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) }
donc déjà on a : ordre de Z/2Z x Z/2Z = 4
ce qui implique que l'ordre des éléments de Z/2Z x Z/2Z sera : 1, 2 ou 4 (diviseurs de 4)
pour l'ordre des éléments : je sais juste que (1,1) est d'ordre 1
mais pour les autres d'habitude on calcule les puissances jusqu'a obtenir (1,1) et on en déduit l'odre de l'élement, mais là peut importe la puissance (0,0) restera (0,0) (de même pour (0,1) et (1,0)). Donc je ne sais pas comment conclure !
Je pense que normalement on trouvera pas d'éléments d'ordre 4 donc c'est pas pour ca que les 2 groupes ne sont pas isomorphes.

Pour la 2 - je pense qu'il faut utiliser : soit G un groupe, g appartenant à G un élément d'ordre n alors pour tout k appartenant à Z, est d'ordre fini et son ordre divise m et est :
mais après je ne sais pas quoi en faire !

Pour la 3 - aucune idée !
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[invitec1942a00]

personne ????
(Merci par avance pour vos réponses)

[Médiat]

Bonjour,

Vous confondez addition et multiplication.

[invitec1942a00]

euh... je ne comprends pas :s

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

euh... je ne comprends pas :s

Z/2ZxZ/2Z ou Z/4Z sont des groupes additifs... (la loi est + pas x) d'autre part le neutre est 0 et non 1.

Par exemple, dans Z/2ZxZ/2Z, (1,1) est d'ordre 2:

1(1,1) = (1,1) différent de (0,0)
2(1,1) = (1+1,1+1) = (0,0)

[invitec1942a00]

je suis totalement perdue !
Dans un exercice de TD, nous avions fait :
Déterminer la liste des inversibles de Z/3Z x Z/5Z. déterminer l'ordre de chaque élément dans (Z/3Z x Z/5Z)*.
nous avions trouvé : (Z/3Z x Z/5Z)* = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) }
et après pour trouver les ordres nous avions par exemple pour (2,3), fait : = (2,3) puis = (1,4) puis = (1,1), donc l'ordre de (2,3) est 4 !
Est ce que ce n'est pas pareil car nous sommes dans les inversibles ?

[Médiat]

(Z/3Z x Z/5Z)*.

La présence de * ne vous évoque rien ?

[invitec1942a00]

bah quand on met : G* = {ensemble des inversibles de G}, non ?

[Médiat]

Et vous pensez que cette notion est utile dans un groupe ?

[invitec1942a00]

euh... pour la question de l'utilité, à vrai dire, je n'en sait absolument rien !

[Médiat]

Cela ne sert clairement à rien, puisque dans un groupe tous les éléments sont inversibles, autrement dit votre exercice du message #1 concerne l'addition alors que celui de votre message #6 concerne la multiplication.

[invitec1942a00]

et comment peut on savoir dans quel cas nous nous trouvons ?

[invite06b993d0]

Z/kZ peut désigner soit le groupe additif, soit l'anneau (voire le corps si k est premier). Quand on dit "le groupe Z/kZ" il ne peut s'agir que du groupe additif. Mais c'est vrai que l'énoncé aurait pu le préciser.

[invitec1942a00]

donc (Z/kZ, x) n'existe pas ?

[Tryss]

Si, mais ça n'est pas un groupe (0 n'est jamais inversible)

[invitec1942a00]

ok merci.
des idées pour la question 3 : Soient M et N deux entiers naturel dont le pgcd n'est pas égal à 1. Montrer que les groupes Z/NZ x Z/MZ et Z/MNZ ne sont pas isomorphes ?

[God's Breath]

Le groupe Z/MNZ est cyclique alors que Z/NZxZ/MZ ne l'est pas, aucun élément de ce groupe n'est d'ordre MN.

[invitec1942a00]

comment on sait ca ?!

[God's Breath]

L'ordre de tout élément de Z/NZxZ/MZ divise le ppcm de N et M.

[invitec1942a00]

si jai bien compris d'après "L'ordre de tout élément de Z/NZxZ/MZ divise le ppcm de N et M."
or ppcm(m,n) = et comme pgcd(m,n) est different de 1, on a ppcm(m,n) n'est jamais égal à (mn)
donc l'ordre de tout élément de Z/NZxZ/MZ divise le ppcm de N et M donc ne divise jamais (nm) or un des diviseurs de mn est mn donc aucun des éléments de Z/NZxZ/MZ ne sera d'ordre mn
et pour la partie : Le groupe Z/MNZ est cyclique ?

[God's Breath]

1 est d'ordre MN dans Z/MNZ.

[invitec1942a00]

ah oui, ok.
et mon raisonnement précédent est-il correct ?