Ordre d'un élément d'un groupe

[invitec3143530]

Bonjour,

Si G est un groupe fini, comment prouver que pour tout x appartenant à G il existe un entier strictement positif k tel que x^k = e ?
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[Tiky]

Considère l'ensemble :

Cet ensemble est fini.

[invitec3143530]

Je vois bien que l'ensemble est fini, mais qu'est ce qui dit que l'un de ses éléments est égal à l'élément neutre de G (e) ?

[Tiky]

Je vois bien que l'ensemble est fini, mais qu'est ce qui dit que l'un de ses éléments est égal à l'élément neutre de G (e) ?

Il est fini, donc il y a au moins deux éléments égaux.
tels que et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Ah, et en supposant par exemple k>k', obtient x^(k-k') = e, le K voulu est k-k', c'est ça ?

[Tiky]

Ah, et en supposant par exemple k>k', obtient x^(k-k') = e, le K voulu est k-k', c'est ça ?

Exactement.

[NicoEnac]

Bonjour,

Considère l'ensemble :

Cet ensemble est fini.

J'ai une petite question car quelque chose m'échappe (je ne remets pas en cause la réponse mais j'aimerais comprendre) : selon wikipédia, un ensemble est fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n.
Or pour l'ensemble que vous décrivez, on peut trouver une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels mais je ne peux pas trouver le "n" de la définition wikipédia.

De plus, je ne comprends pas l'argument "Il est fini, donc il y a au moins deux éléments égaux.".

[invitec3143530]

Eh bien il est fini car ses éléments appartiennent à G, qui est fini par définition.
Le n est simplement son nombre d'éléments.

Quand il dit "Il est fini, donc il y a au moins deux éléments égaux." ça veut dire que si on prend par exemple les n+1 premiers termes (k variant de 1 à n+1 dans x^k), deux de ses éléments seront au moins seront égaux, car l'ensemble ne contient que n éléments différents.

[NicoEnac]

Eh bien il est fini car ses éléments appartiennent à G, qui est fini par définition.

Et comment est défini G ?

[invitec3143530]

G est un groupe fini quelconque. Par exemple ça peut être (Z/3Z, X).

[Tiky]

Bonjour,

J'ai une petite question car quelque chose m'échappe (je ne remets pas en cause la réponse mais j'aimerais comprendre) : selon wikipédia, un ensemble est fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n.
Or pour l'ensemble que vous décrivez, on peut trouver une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels mais je ne peux pas trouver le "n" de la définition wikipédia.

De plus, je ne comprends pas l'argument "Il est fini, donc il y a au moins deux éléments égaux.".

C'est un abus de langage. Je dis que l'ensemble est fini et donc l'application ne saurait être injective.

[invitebe0cd90e]

Effectivement c'est un abus de langage. Si tu veux le dire formellement, il existe une application de N dans G qui à k associe x^k. Puisque G est fini, cette application ne peut pas etre injective. Donc il existe deux éléments différents k,k' qui donnent le meme element de G, cad x^k=x^k'.