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Ordre d'un élément



  1. #1
    Amanda83

    Ordre d'un élément


    ------

    Bonjour,

    j'ai besoin d'un petit coup de pouce pour un exercice.
    Soit un entier n supérieur ou égal à 2. G=((Z/2^nZ)*,x) le groupe des éléments inversibles de Z/2^nZ.
    J'ai montré que l'exposant de 2 dans est p+2. Je dois en déduire l'ordre de dans Z/2^nZ.
    J'ai trouvé mais je ne vois pas comment trouver l'ordre de .

    Merci de vos explications et de vos aides.
    Amanda

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Salut,

    Tu peux commencer par utiliser le fait que l'ordre de divise le cardinal de pour montrer que l'ordre de est une puissance de 2.

  3. #3
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    Désolée je suis un peu perdue en algèbre!
    Le cardinal de Z/2^nZ est le nombre d'éléments de Z/2^nZ. C'est donc 2^n, non?

  4. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    J'ai montré que l'exposant de 2 dans est p+2. Je dois en déduire l'ordre de dans Z/2^nZ.
    En gras il faut bien lire ? (c'est ce que j'ai considéré dans mon premier message mais je ne l'ai pas dit )
    Citation Envoyé par Amanda83
    Le cardinal de Z/2^nZ est le nombre d'éléments de Z/2^nZ. C'est donc 2^n, non?
    Oui mais je t'ai suggéré de calculer le cardinal de (l'étoile a son importance).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    oui, oui c'est bien
    et donc le cardinal de est

  7. #6
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    oui, oui c'est bien
    Décidément tu es fachée avec les étoiles . Je t'ai demandé s'il fallait lire (y'a une étoile après le second Z).
    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    et donc le cardinal de est
    ou ? (le second s'écrit 2^{n-1} en LaTeX)

  8. #7
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    J'avais pas vu que j'avais mis une étoile, c'est l'ordre de dans .

  9. #8
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    c'est l'ordre de dans .
    Je ne pense pas, non. Pour calculer l'ordre de dans Z/2nZ on n'a pas besoin de se servir des questions précédentes : il suffit de dire que comme 5 est premier avec , est un générateur de Z/2nZ et son ordre est .

    Par contre pour calculer l'ordre de dans Z/2nZ*, les questions précédentes sont utiles. Je pense qu'il faudrait corriger l'énoncé et remplacer
    Je dois en déduire l'ordre de dans Z/2^nZ.
    par
    Je dois en déduire l'ordre de dans Z/2^nZ*.
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    ou ? (le second s'écrit 2^{n-1} en LaTeX)
    Tu n'as pas répondu à cette question ?

  10. #9
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    ok, alors moi j'aurais dis que le cardinal de est (la première en fait).

  11. #10
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    ok, alors moi j'aurais dis que le cardinal de est (la première en fait).
    L'étoile, l'étoile... c'est de Z/2nZ* dont on parle. Et non, son cardinal n'est pas .

    Z/2nZ* contient les éléments de Z/2nZ qui sont inversibles pour la multiplication. Mais il peut exister des éléments non-nuls qui n'admettent pas d'inverse. Par exemple dans Z/4Z on a . Si admettait un inverse on aurait donc (je multiplie les deux côtés de la dernière égalité par )
    c'est-à-dire ce qui est impossible. n'appartient donc pas à Z/4Z*. (en fait Z/4Z*={}).

    Normalement tu as dû voir en cours une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit dans Z/nZ* : dire que Z/nZ* c'est dire qu'il existe un élément Z/nZ tel que (ou encore ). Si l'on revient à une équation entre entiers, cela signifie qu'il existe deux entiers et tels que . D'après le théorème de Bézout, deux tels entiers existent si, et seulement si, et sont premiers entre eux. Le cardinal de Z/nZ* est donc égal au nombre d'entiers de qui sont premiers avec .

    Pour déterminer le cardinal de Z/2nZ* il faut donc trouver combien l'ensemble contient d'entiers premiers avec .

  12. #11
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    Ok merci pour le rappel de cours (je suis en Capes Maths et cela est un peu loin)
    Donc le cardinal de est le nombre d'éléments impairs donc

  13. #12
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    Donc le cardinal de est le nombre d'éléments impairs donc
    Oui. Quelle information cela nous donne-t-il sur l'ordre de dans ?

    Edit : Bon en fait j'ai donné la réponse au message no2 :
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Tu peux commencer par utiliser le fait que l'ordre de divise le cardinal de pour montrer que l'ordre de est une puissance de 2.
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 30/01/2010 à 18h32.

  14. #13
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    J'aurais bien dis que est d'ordre mais cela ne me parait pas naturel

  15. #14
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Le théorème de Lagrange nous dit que l'ordre de divise le cardinal de Z/2nZ*, c'est-à-dire que divise . Quels sont les diviseurs de ? Donc quelle est la « forme » de ? Ensuite tu devrais pouvoir faire le lien avec ce que tu as déjà montré :
    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    J'ai montré que l'exposant de 2 dans est p+2.

  16. #15
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    Les diviseurs de sont
    Donc q est de la forme

  17. #16
    Flyingsquirrel

    Re : Ordre d'un élément

    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    Donc q est de la forme
    Oui, trouver l'ordre de dans revient donc à trouver le plus petit entier tel que ...

  18. #17
    Amanda83

    Re : Ordre d'un élément

    Merci beaucoup pour les rappels de cours, les aides et les explications.
    J'ai trouvé k=n-2.
    Encore merci.
    Amanda

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