Ordre d'un élément

invite616a69c2 · 30/01/2010, 11h51

Bonjour,

j'ai besoin d'un petit coup de pouce pour un exercice.
Soit un entier n supérieur ou égal à 2. G=((Z/2^nZ)*,x) le groupe des éléments inversibles de Z/2^nZ.
J'ai montré que l'exposant de 2 dans $\text{[math]}$ est p+2. Je dois en déduire l'ordre de $\text{[math]}$ dans Z/2^nZ.
J'ai trouvé $\text{[math]}$ mais je ne vois pas comment trouver l'ordre de $\text{[math]}$ .

Merci de vos explications et de vos aides.
Amanda

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 12h37

Salut,

Tu peux commencer par utiliser le fait que l'ordre de $\text{[math]}$ divise le cardinal de $\text{[math]}$ pour montrer que l'ordre de $\text{[math]}$ est une puissance de 2.

invite616a69c2 · 30/01/2010, 13h00

Désolée je suis un peu perdue en algèbre!
Le cardinal de Z/2^nZ est le nombre d'éléments de Z/2^nZ. C'est donc 2^n, non?

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 13h12

Envoyé par Amanda83

J'ai montré que l'exposant de 2 dans $\text{[math]}$ est p+2. Je dois en déduire l'ordre de $\text{[math]}$ dans Z/2^nZ.

En gras il faut bien lire $\text{[math]}$ ? (c'est ce que j'ai considéré dans mon premier message mais je ne l'ai pas dit

)

Envoyé par Amanda83

Le cardinal de Z/2^nZ est le nombre d'éléments de Z/2^nZ. C'est donc 2^n, non?

Oui mais je t'ai suggéré de calculer le cardinal de $\text{[math]}$ (l'étoile a son importance).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite616a69c2 · 30/01/2010, 13h19

oui, oui c'est bien $\text{[math]}$
et donc le cardinal de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 13h26

Envoyé par Amanda83

oui, oui c'est bien $\text{[math]}$

Décidément tu es fachée avec les étoiles

. Je t'ai demandé s'il fallait lire $\text{[math]}$ (y'a une étoile après le second Z).

Envoyé par Amanda83

et donc le cardinal de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ? (le second s'écrit 2^{n-1} en LaTeX)

invite616a69c2 · 30/01/2010, 13h29

J'avais pas vu que j'avais mis une étoile, c'est l'ordre de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 13h44

Envoyé par Amanda83

c'est l'ordre de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Je ne pense pas, non. Pour calculer l'ordre de $\text{[math]}$ dans Z/2ⁿZ on n'a pas besoin de se servir des questions précédentes : il suffit de dire que comme 5 est premier avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est un générateur de Z/2ⁿZ et son ordre est $\text{[math]}$ .

Par contre pour calculer l'ordre de $\text{[math]}$ dans Z/2ⁿZ*, les questions précédentes sont utiles. Je pense qu'il faudrait corriger l'énoncé et remplacer

Je dois en déduire l'ordre de $\text{[math]}$ dans Z/2^nZ.

par

Je dois en déduire l'ordre de $\text{[math]}$ dans Z/2^nZ*.

Envoyé par Flyingsquirrel

$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ? (le second s'écrit 2^{n-1} en LaTeX)

Tu n'as pas répondu à cette question ?

invite616a69c2 · 30/01/2010, 15h57

ok, alors moi j'aurais dis que le cardinal de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ (la première en fait).

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 16h34

Envoyé par Amanda83

ok, alors moi j'aurais dis que le cardinal de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ (la première en fait).

L'étoile, l'étoile... c'est de Z/2ⁿZ* dont on parle. Et non, son cardinal n'est pas $\text{[math]}$ .

Z/2ⁿZ* contient les éléments de Z/2ⁿZ qui sont inversibles pour la multiplication. Mais il peut exister des éléments non-nuls qui n'admettent pas d'inverse. Par exemple dans Z/4Z on a $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ admettait un inverse $\text{[math]}$ on aurait donc (je multiplie les deux côtés de la dernière égalité par $\text{[math]}$ )

$\text{[math]}$

c'est-à-dire $\text{[math]}$ ce qui est impossible. $\text{[math]}$ n'appartient donc pas à Z/4Z*. (en fait Z/4Z*={ $\text{[math]}$ }).

Normalement tu as dû voir en cours une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit dans Z/nZ* : dire que $\text{[math]}$ Z/nZ* c'est dire qu'il existe un élément $\text{[math]}$ Z/nZ tel que $\text{[math]}$ (ou encore $\text{[math]}$ ). Si l'on revient à une équation entre entiers, cela signifie qu'il existe deux entiers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . D'après le théorème de Bézout, deux tels entiers existent si, et seulement si, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers entre eux. Le cardinal de Z/nZ* est donc égal au nombre d'entiers de $\text{[math]}$ qui sont premiers avec $\text{[math]}$ .

Pour déterminer le cardinal de Z/2ⁿZ* il faut donc trouver combien l'ensemble $\text{[math]}$ contient d'entiers premiers avec $\text{[math]}$ .

invite616a69c2 · 30/01/2010, 17h16

Ok merci pour le rappel de cours (je suis en Capes Maths et cela est un peu loin)
Donc le cardinal de $\text{[math]}$

est le nombre d'éléments impairs donc $\text{[math]}$

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 17h26

Envoyé par Amanda83

Donc le cardinal de $\text{[math]}$

est le nombre d'éléments impairs donc $\text{[math]}$

Oui. Quelle information cela nous donne-t-il sur l'ordre de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ?

Edit : Bon en fait j'ai donné la réponse au message n^o2

:

Envoyé par Flyingsquirrel

Tu peux commencer par utiliser le fait que l'ordre de $\text{[math]}$ divise le cardinal de $\text{[math]}$ pour montrer que l'ordre de $\text{[math]}$ est une puissance de 2.

invite616a69c2 · 30/01/2010, 17h38

J'aurais bien dis que $\text{[math]}$ est d'ordre $\text{[math]}$ mais cela ne me parait pas naturel

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 17h48

Le théorème de Lagrange nous dit que l'ordre de $\text{[math]}$ divise le cardinal de Z/2ⁿZ*, c'est-à-dire que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ . Quels sont les diviseurs de $\text{[math]}$ ? Donc quelle est la « forme » de $\text{[math]}$ ? Ensuite tu devrais pouvoir faire le lien avec ce que tu as déjà montré :

Envoyé par Amanda83

J'ai montré que l'exposant de 2 dans $\text{[math]}$ est p+2.

invite616a69c2 · 30/01/2010, 18h22

Les diviseurs de sont $\text{[math]}$
Donc q est de la forme $\text{[math]}$

**Flyingsquirrel** · 30/01/2010, 19h28

Envoyé par Amanda83

Donc q est de la forme $\text{[math]}$

Oui, trouver l'ordre de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ revient donc à trouver le plus petit entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ...

invite616a69c2 · 30/01/2010, 22h51

Merci beaucoup pour les rappels de cours, les aides et les explications.
J'ai trouvé k=n-2.
Encore merci.
Amanda

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