Question de la non-existence de 2 isomorphismes

[invite2b14cd41]

Salut,
Je dois montrer que et ne sont pas isomorphes. On m'a parlé d'une méthode avec des Z-modules, mais n'étant pas familier avec cette notion, je n'ai pas compris la méthode.
De même, je dois montrer que et ne sont pas isomorphes. J'ai essayé par l'absurde en montrant que la fonction devrait forcément prendre des valeurs irrationnels, sans succès.

Remarque: Ces exos sont , en théorie, accéssibles niveau sup.

Merci par avance.
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[inviteea028771]

Pour l'isomorphisme entre (Q,+) et (Q+*,.), je ferrai comme ça :

Soit f un tel isomorphisme.

On a f(1) = a

On note a' la fraction réduite de a. a' étant fini, son numérateur et son dénominateur le sont aussi. Notons p et q ces deux nombres et n = max(p,q)+1

On a alors f(1/n) = b, avec b^n = a, et b=p'/q' , p' et q' premiers entre eux

On a alors p'^n = p. Si p'>=2, on a p>=2^n, or p<n ce qui est contradictoire. Ainsi p' = 1
De même, q'^n = q. Si q'>=2, on a q>=2^n, or q<n ce qui est contradictoire. Ainsi q' = 1

On aurai alors f(1/n) = 1 = f(1), ce qui est impossible car f est une bijection.

Conclusion : il n'existe pas d'isomorphisme entre (Q,+) et (Q+*,.)


Pour l'isomorphisme entre (Z²,+) et (Q,+), c'est un peu pareil je pense :

Soit f l'isomorphisme entre (Q,+) et (Z²,+)

On pose f(1) = (a,b), et n= max(|a|,|b|)+1
On a alors f(1/n) = (a',b')

De plus, a' vérifie l'équation n*a' = a, or |a|<n, d’où |n*a'|<n => a' = 0
Idem pour b' : n*b' = b, or |b|<n, d’où |n*b'|<n => b' = 0

On a donc f(1) = f(1/n) = f(0) = (0,0), ce qui est impossible car f est une bijection

Conclusion : il n'existe pas d'isomorphisme entre (Q,+) et (Z²,+)

[Médiat]

Je dois montrer que et ne sont pas isomorphes.

Bonjour,
Une chose que l'on peut constater :
Si x et y sont des rationnels, alors on peut écrire (x + x + ... + x) - (y + y + ... y) = 0 (c'est assez clair si on écrit x = p/q et y = p'/q' que p'qx -pq'y = 0), or une telle formule n'existe pas pour la paire {(1, 0), (0, 1)}, donc pas d'isomorphisme.

Pour et , il suffit de constater que vérifie la formule (il suffit de poser y = x/2), alors que
ne vérifie pas (il suffit de prendre x = 2).

[invite2b14cd41]

Merci beaucoup à vous 2

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