Orbite et stabilisateur - Algebre

[invitef02426d6]

Bonjour,
Il y a un exercice d'algèbre dont je ne comprends pas la résolution:
Il est connu que chaque sous-groupe L<S₁₀ agit sur [1, 10] := {1, 2,..., 10} par
la formule π • i = π(i). Prenons pour L le sous-groupe de S₁₀ engendré par la permutation
p = (1, 2, 3, 4)(4, 5)(8, 9, 10). Trouver l’orbite et le stabilisateur de 2. Trouver les points fixes de L sur [1, 10].

Voilà la solution
L=< { p=(1, 2, 3, 4)(4, 5)(8, 9, 10) = (1, 2, 3, 4,5)(8, 9, 10) } > ⊂ S₁₀ est donc engendré par un 5-cycle et un 3-cycle donc |L|=15 car (1, 2, 3, 4,5) et (8, 9, 10) commutent alors :

Orb(2) = { 1, 2, 3, 4 , 5 }
Stab(2)={ Identité, p⁵, p¹⁰ }
Points fixe de L ={6, 7}

Je ne comprends pas comment le calcul a été fait pour l'orbite ? Par definition Orb(2)= L • 2 := {l • 2; l appartient à L}. l • 2= l(2) ? mais je ne comprends pas ce qu'il faut faire par la suite ?

Et pour le stabilisateur pourquoi avoir pris p⁵ et p¹⁰, l'ordre de la permutation p est de 15 , pourquoi ne pas avoir seulement pris l'identité et p^15 ?

Merci
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[invite26ea85d9]

Et bien quand tu regardes les supports des permutations tu les trouvent disjoints ( ouf ! ), cela facilite effectivement les calculs pour faire simple dans ton cas tu regardes les itérations successive de p en partant de 2 p(2) puis p^2(2) etc...
comment dire pour la suite, heu p^15=id peut être ? La question peut être vue differement : Quel doit être n tel que p^n(2)=2, réponse : n=0 mod (5) + la remarque de début de ligne.
Pour avoir une idée des points fixe on sait au moins que le complémentaire de l'union des support est inclus dedans...