Problème de Probabilités

[GregPer]

Bonjour tout le monde,

Au programme aujourd'hui de la probabilité et le problème suivant qui me donne, malheureusement, beaucoup de fil à retordre.

Un jeu est composé de 10 cartes. Parmi celles-ci :
- 3 cartes A
- 6 cartes B
- 1 carte C.
Chaque tour, une carte est tirée, enlevée du paquet et on passe au tour suivant.
Néanmoins lorsque la carte C est tirée, l'ensemble des cartes piochées jusqu'ici retournent dans le paquet (la carte C comprise), celui-ci est mélangé et on effectue immédiatement un nouveau tirage avant de passer au tour suivant.
(Si la carte C est à nouveau tirée, on remet celle-ci dans le paquet pour en piocher une autre).

Question : Quelle est la probabilité qu'aucune carte A n'ait été tirée au tour 7 inclus ?

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Pour arriver au résultat, j'ai tenté de progresser en calculant les probabilités tour par tour à l'aide d'une arborescence dans l'espoir de voir apparaître une formule générique.
Mais la gestion du tirage et du non-tirage de la carte C alourdi rapidement l'arbre si bien que les branches se multiplient et le calcul de la probabilité avec.

Je suis à la recherche d'une meilleure méthode, formule ou raisonnement pour parvenir à mes fins.

Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Au premier tout, on peut ne pas tenir compte de la carte C, puisqu'on retire jusqu'à obtenir une autre carte.
Au tour n, si on tire la carte C, on recommence comme au début, mais on ne s'intéresse plus qu'à la proba qu'aucune carte A n'ait été tirée jusqu'au tout 7-k.

Donc il est intéressant de traiter le problème en remplaçant 7 par 1, 2, 3, ....

Cordialement.

[ansset]

Bonjour tout le monde,

Au programme aujourd'hui de la probabilité et le problème suivant qui me donne, malheureusement, beaucoup de fil à retordre.

[I]Un jeu est composé de 10 cartes. Parmi celles-ci :
- 3 cartes A
- 6 cartes B
- 1 carte C.
Chaque tour, une carte est tirée, enlevée du paquet et on passe au tour suivant.
Néanmoins lorsque la carte C est tirée, l'ensemble des cartes piochées jusqu'ici retournent dans le paquet (la carte C comprise), celui-ci est mélangé et on effectue immédiatement un nouveau tirage avant de passer au tour suivant.
(Si la carte C est à nouveau tirée, on remet celle-ci dans le paquet pour en piocher une autre).

.

ce n'est pas clair.
les cartes sont enlevées ou remises.????
dans le deuxième cas, il n' a pas "d'arbre" car chaque tirage est indépendant.

[ansset]

pardon,
si je comprend, il n' a remise des cartes uniquement en cas de tirage de la carte C , c'est ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GregPer]

ce n'est pas clair.
les cartes sont enlevées ou remises.????
dans le deuxième cas, il n' a pas "d'arbre" car chaque tirage est indépendant.

Merci pour votre réponse. Lorsqu'on tire une carte A ou B, la carte est enlevée du paquet pour les tirages suivants. Lorsqu'on tire la carte C, l'ensemble des cartes enlevées sont alors réintégrées au paquet. On retourne alors à la situation initiale du 1er tirage.

[GregPer]

Bonjour.

Au premier tout, on peut ne pas tenir compte de la carte C, puisqu'on retire jusqu'à obtenir une autre carte.
Au tour n, si on tire la carte C, on recommence comme au début, mais on ne s'intéresse plus qu'à la proba qu'aucune carte A n'ait été tirée jusqu'au tout 7-k.

Donc il est intéressant de traiter le problème en remplaçant 7 par 1, 2, 3, ....

Cordialement.

Merci pour votre réponse. Pour le 1er tirage, j'étais effectivement arrivé à la conclusion que la carte C n'avait aucune incidence puisqu'on tirerait des cartes jusqu'à obtenir A ou B.
Je ne comprends pas votre solution cependant. Je cite : "On ne s'intéresse plus qu'à la proba qu'aucune carte A n'ait été tirée jusqu'au tour 7-k". Mais lorsque la carte C a été tirée, rien n'empêche qu'elle le soit à nouveau.

[GregPer]

pardon,
si je comprend, il n' a remise des cartes uniquement en cas de tirage de la carte C , c'est ça ?

Exactement cela. Concrètement la taille de notre paquet de cartes diminue au fur et à mesure des tirages, mais lorsque la carte C arrive, on repart à zéro.

[gg0]

Si on tire C au 3-ième tour, on recommence à 0, mais on va faire le 3-ième tour et les suivants. Donc on recommence à 0 sauf pour le compte des tour. On arrivera à ne jamais avoir tiré de cartes A si on le fait sur 5 tours (et plus 7).
Petit correctif : C'est "Au tour n, si on tire la carte C, on recommence comme au début, mais on ne s'intéresse plus qu'à la proba qu'aucune carte A n'ait été tirée jusqu'au tour 7-n+1".

[GregPer]

Petit correctif : C'est "Au tour n, si on tire la carte C, on recommence comme au début, mais on ne s'intéresse plus qu'à la proba qu'aucune carte A n'ait été tirée jusqu'au tour 7-n+1".

Je suis d'accord avec cet énoncé. En reprenant votre exemple, si la carte C est tirée au 3ème, on s'intéressera à la probabilité qu'aucune carte A n'ait été tirée jusqu'au tour 7 (notre objectif)-3 (le nombre de tours déjà passés) + 1 (le tour en cours avec la remise) = 5 tours.
Néanmoins, nous n'avons aucune possibilité de savoir si la carte C va bel et bien tomber au 3ème tour. Suis-je supposé faire tous les cas envisageables (Carte C tour 1, Carte C tour 2... Carte C tour 7) ?

[gg0]

Est-ce que ça ne simplifie pas la construction de ton arbre ? Ou plutôt de tes arbres : un pour 2 tours, un pour 3 tours en se servant du précédent, etc. Bien évidemment, en ne traçant que les branches utiles (inutile, après un tirage C de réécrire un autre tirage C qui ne fait rien, inutile de faire les branches A.

Cordialement.

[GregPer]

Est-ce que ça ne simplifie pas la construction de ton arbre ? Ou plutôt de tes arbres : un pour 2 tours, un pour 3 tours en se servant du précédent, etc. Bien évidemment, en ne traçant que les branches utiles (inutile, après un tirage C de réécrire un autre tirage C qui ne fait rien, inutile de faire les branches A.

Cordialement.

Merci pour votre aide. Avec ces simplifications, mon arbre est beaucoup + lisible en effet.