exercice sur la continuité

[invite772ed417]

bonjour, j'ai un problème a trouver la solution de cet exercice:
Soit f, g deux fonctions continues de [0, 1] dans lui-même, telles que g ° f = f ° g.
Montrer qu’il existe a dans [0, 1] tel que f(a) = g(a)
j'ai raisonné par absurde et j'ai ensuite considéré la fonction h=f-g puisque h est continue(selon les théorème généraux de dérivabilité)alors h est strictement positive pour tout x appartenant a [0, 1] ou le contraire. quitte a remplacer h par -h j'ai supposer que h est strictement positive mais je ne sais pas continuer.
merci d'avance pour vos aides et suggestions.
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[erff]

Bonjour,

On peut même trouver "explicitement" une telle valeur de a :

1- On peut montrer que f et g possèdent des points fixes (fonctions continues dans [0,1] qui sont stables dans [0,1]). On se rappelle alors que, pour tout x0 dans [0,1], toute suite (Un_x0) définie par Un+1_x0=g(Un_x0) converge vers un point fixe de g.
2- On peut alors montrer que f et g ont un point fixe en commun (donc, le fameux a) en itérant la fonction g sur un point fixe de f et en utilisant "plusieurs fois" le fait que fog=gof à la fin.

Il reste à le formaliser proprement ...

[invite23cdddab]

On se rappelle alors que, pour tout x0 dans [0,1], toute suite (Un_x0) définie par Un+1_x0=g(Un_x0) converge vers un point fixe de g.

Seulement si g est contractante... Sinon ça n'est pas toujours vrai

[erff]

Bonjour,

Oui tu as tout à fait raison. Merci de le faire remarquer.

Donc il faut considérer la suite Un_x0 en prenant x0 un point fixe de f. On montre alors que cette suite est croissante (et majorée) -- en supposant que g>f partout ce qui ne change rien à la généralité du pb -- donc converge, et donc converge vers un point fixe de g. Et la conclusion s'applique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite772ed417]

je n'ai pas bien compris d'ou vient l'existence d'une tel suite

[erff]

Bonjour,

Je te propose un cheminement, à toi de justifier les points "techniques"

1- Comme tu l'as dit, on peut dire que f<g sur [0,1] (quitte à échanger les rôles) ; tu vas en avoir besoin plus loin
2- Montrer que f et g admettent des points fixes
3- Montrer que si x0 est un point fixe de f, alors g(x0), gog(x0), gogog(xo) etc.... sont aussi des points fixes de f
4- Soit Un=gogogo...og(x0) (répété n fois) une suite, montrer que Un converge vers un point fixe de g
5- Conclure

[invite772ed417]

merci beaucoup de votre aide