Exercice Continuité

[thomas5701]

Bonjour à vous tous, je sollicite votre aide dans cet exercice concernant la continuité.
Voilà l'énoncé:

Soit f :]0;+oo[--> IR une application croissante telle que g : x -->f(x)/x soit décroissante. Montrer que f est continue sur ]0;+oo[.

Mais là je ne vois pas trop. On peut certainement utiliser le théorème de la limite monotone, montrer que pour tout point a, on a f(a+)=f(a-)=f(a)
Mais je bloque.

Je vous remercie d'avance pour votre aide éventuelle.
Cordialement, Thomas.
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[ichigo01]

Bonjour à vous tous, je sollicite votre aide dans cet exercice concernant la continuité.
Voilà l'énoncé:

Soit f :]0;+oo[--> IR une application croissante telle que g : x -->f(x)/x soit décroissante. Montrer que f est continue sur ]0;+oo[.

Mais là je ne vois pas trop. On peut certainement utiliser le théorème de la limite monotone, montrer que pour tout point a, on a f(a+)=f(a-)=f(a)
Mais je bloque.

Je vous remercie d'avance pour votre aide éventuelle.
Cordialement, Thomas.

Si f est croissante , elle doit être dérivable , et f dérivable implique que f est continue .
Donc tu n'as qu'à montrer qu'elle est dérivable ce qui n'est pas très difficile

[invitea07f6506]

Si f est croissante , elle doit être dérivable , et f dérivable implique que f est continue .
Donc tu n'as qu'à montrer qu'elle est dérivable ce qui n'est pas très difficile

N'importe quoi.
(conte-exemple rapide : f(x)=E(x)+D(x)/2, où E(x) est la partie entière et D(x) la partie décimale)

Mais là je ne vois pas trop. On peut certainement utiliser le théorème de la limite monotone, montrer que pour tout point a, on a f(a+)=f(a-)=f(a)

C'est l'idée. étant monotone, on n'a aucun problème pour définir et , avec :

Ensuite, on fait la même chose avec . On obtient :

Et c'est pratiquement fini.

[thomas5701]

Oui, c'est vrai, on multiplie par 1/a, l'inégalité est conservé car 1/a est positif.

Et grâce à la 2e égalité, venant de f(x)/x, on peut conclure que f(a-)=f(a)=f(a+)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

N'importe quoi.
(conte-exemple rapide : f(x)=E(x)+D(x)/2, où E(x) est la partie entière et D(x) la partie décimale)
.

Mais ça ne veut pas dire qu'une fonction dérivable n'est pas continue !

[invitea07f6506]

Mais ça ne veut pas dire qu'une fonction dérivable n'est pas continue !

D'accord. Mais le "croissant implique dérivable" est juste totalement erroné.