Equation différentielle

[invited5e782d8]

Bonjour.
J'ai un petit soucis quant-à la résolution d'une équation différentielle homogène du 1er ordre.

Voici l'équation différentielle :

Tout d'abord, je l'ai résolu sur privé de et j'obtiens : avec K un réel.

Par la suite, je dois résoudre mon équation sur tout entier. Il est visible qu'en 0 et en 1, y(x) = 0.
Cependant pour pouvoir espérer avoir une fonction dérivable, il faut au moins que celle-ci soit continue. Or si, en bricolant, je pose :
avec K un réel, lorsque
y(x) = 0 sinon
je n'ai pas de fonction continue, la première expression tendant vers +infini lorsque x tend vers 0 ou 1.

J'ai pensé à encadrer ln par des valeurs absolues, mais alors l'expression de y n'est plus solution de l'équation homogène.

Pouvez vous me donner un coup de main ?

Cordialement.
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[Universus]

Bonjour,

Vous êtes sur la bonne voie, mais il vous reste à prendre la pleine mesure de vos résultats : est-il possible d'obtenir une solution (continue) sur tous les réels pour n'importe quelle valeur de ?

Si cela vous semble entrer en conflit avec le théorème d'existence et d'unicité des solutions d'une EDO, je vous invite à relire de nouveau l'énoncé de ce théorème afin de voir s'il s'applique ici.

[invited5e782d8]

Bonjour. Merci de votre réponse.

Il me semble avoir en effet repéré une coquille : je dois prendre trois constantes, à priori différentes, pour mon résultat sur R privé de 0 et de 1 : une constante correspondant à un intervalle.
Était-ce que vous vouliez m'indiquer ?

Ensuite, ce qui me pose problème est que, si je veux obtenir une unique forme de fonction solution de l'équation homogène, sur R tout entier, il faut que celle-ci soit continue pour espérer être dérivable et donc solution.
Ce n'est pas le cas en posant y=0 lorsque x = 0 et lorsque x=1.

À vrai dire je me répète un peu, parce que je n'ai pas bien compris votre réponse sur cette partie. Peut-être n'avais-je pas été clair ?

Cordialement.

[Universus]

Il me semble avoir en effet repéré une coquille : je dois prendre trois constantes, à priori différentes, pour mon résultat sur R privé de 0 et de 1 : une constante correspondant à un intervalle.

J'aurais effectivement dû souligner au passage le fait que les trois constantes peuvent être prises distinctes dans le cas de . Ceci dit, je me suis concentré sur un autre aspect.

Ensuite, ce qui me pose problème est que, si je veux obtenir une unique forme de fonction solution de l'équation homogène, sur R tout entier, il faut que celle-ci soit continue pour espérer être dérivable et donc solution.
Ce n'est pas le cas en posant y=0 lorsque x = 0 et lorsque x=1.

À vrai dire je me répète un peu, parce que je n'ai pas bien compris votre réponse sur cette partie. Peut-être n'avais-je pas été clair ?

Vous avez été très clair, ne vous inquiétez pas. J'ai volontairement été nébuleux afin de ne pas donner directement la réponse à votre question, mais je vais reformuler.

Vous avez tous les ingrédients pour répondre à votre question. Le fait que vous soyez bloqué s'explique probablement par le fait que, sans vous en rendre compte, vous avez un préjugé sur ce que devrait être une solution de votre problème, préjugé incompatible avec les résultats que vous avez obtenus. Une fois que vous aurez pris la pleine mesure de vos résultats, vous prendrez vraisemblablement conscience de ce préjugé.

Si vous regardez de plus près, vous verrez qu'il y a bel et bien une valeur de (ou encore des trois constantes) pour laquelle la solution peut être prolongée sur tout en une fonction continue, même analytique. Qui plus est, il s'agit de la seule valeur de (ou du seul triplet de constantes) pour laquelle la solution peut être ainsi prolongée ; il vous faut regarder comment se comportent vos solutions dans la limite où x tend vers 0 ou 1, soit encore étudier la continuité en ces points.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5e782d8]

Et bien, j'y ai un peu réfléchi et je pense que la seule valeur possible pour les trois constantes doit être 0.
Du coup la seule solution possible de l'équation différentielle sur R est y=0.
Ce résultat permet d'empêcher la fonction de tendre vers +infini en 0 et en 1 et donc la rend continue.

Bon je dois avouer que ce résultat fait un peu peur : en général je ne m'attends pas à avoir une unique fonction possible, et encore moins une forme aussi simple. Peut-être est-ce là mon préjugé ..?

[Tryss2]

Ton préjugé vient probablement du fait que pour les équations différentielles du type y'(x) = F(x,y(x)) ou F est sympathique, c'est vrai que pour toute condition initiale il existe une unique solution. Le hic ici, c'est que ça n'est pas une équation de cette forme! Si tu la mets sous cette forme, elle devient



Le domaine de x->F(x,y) n'est pas R ! Donc à priori, aucune raison qu'il y ai une solution sur tout R

[invited5e782d8]

Hum.. Je vais continuer à vous poser des questions pour réellement comprendre :
Tout d'abord, mon raisonnement précédent est-il juste ?
Ensuite, il n'y a pas de conditions initiales dans mon énoncé. Je ne comprends donc pas bien votre remarque et aussi pourquoi je trouve au final une unique solution.

Cordialement.

[Universus]

Et bien, j'y ai un peu réfléchi et je pense que la seule valeur possible pour les trois constantes doit être 0.
Du coup la seule solution possible de l'équation différentielle sur R est y=0.
Ce résultat permet d'empêcher la fonction de tendre vers +infini en 0 et en 1 et donc la rend continue.

Exactement.

Si l'une des trois constantes est non nulle, alors (sur l'intervalle correspondant) votre solution tend vers un infini à l'approche de 0 et/ou de 1. Il est clair que la fonction n'est pas continue en 0 et/ou en 1.

Bon je dois avouer que ce résultat fait un peu peur : en général je ne m'attends pas à avoir une unique fonction possible, et encore moins une forme aussi simple. Peut-être est-ce là mon préjugé ..?

C'est effectivement là votre préjugé. Tryss2 vous a donné la raison, mais puisque vous semblez confus à ce propos, je vais en discuter. C'est, comme je l'avais annoncé, en lien avec le théorème d'existence et d'unicité des solutions aux EDO.

En principe, une EDO du premier ordre peut s'exprimer sous la forme ; dans le cas présent, Tryss2 a calculé l'expression précise de .

Le théorème de Cauchy-Lipschitz stipule en particulier la chose suivante : si F est continue dans ses deux variables sur un domaine (avec D connexe), alors en fixant n'importe quel (c'est la « condition initiale »), il existe une unique solution (de classe ) telle que .

Dans le cas présent, la fonction est continue en y sur tout , mais le domaine maximal en x sur lequel elle est continue en x est . Ainsi, le théorème s'applique sur chaque composante connexe de D, assurant un continuum de solutions sur chacune de ces composantes (résultat que vous avez bel et bien obtenu). Par contre, le théorème ne s'applique plus pour , de sorte qu'aucun continuum des solutions différentiables ou continues n'est de prime abord assuré ; comme nous l'avons vu, il n'y a effectivement qu'une seule solution continue, toutes les autres étant singulières en 0 ou en 1.

[invited5e782d8]

Merci pour votre temps.

Malheureusement je ne suis qu'en première année de prépa, et vous utilisez beaucoup de termes que je ne comprend pas puisque je ne les ai pas encore vus. Ça m'aurait intéressé d'approfondir un peu la notion, mais en prépa il vaut mieux retaper ce que l'on a déjà vu plutôt qu'avancer un peu trop les notions.
De toute façon, en plus d'avoir réussi l'exercice, j'ai un petit nuage qui s'est éclaircit. Merci beaucoup !