avis pour programme en L1 et L2 maths

[stephen97]

Bonjour,

je voulais savoir si le programme de cette fac(Caen) en licence de maths équivaut celui de deux ans de prépa(MPSI puis MP voir MP*).Si ce n'est pas le cas dites moi les notions qui sont en plus dans l'une ou dans l'autre.

Ceci est très important pour moi car je veux passer les concours d'actuariat à Bac +2 et vu que les taupins les font,je ne veux pas avoir de désavantage.

L1 semestre 1:

Equations (en particulier factorisation et développement d’expressions polynomiales), schéma de Horner-Ruffini, tableau de signe, valeur absolue, inéquations, Fonctions usuelles, composée de fonctions, injectivité, surjectivité, parité, périodicité. Limites, continuité, dérivabilité, étude de fonctions, problèmes à paramètre. Nombre complexes : généralités, somme et produit, conjugaison, module, forme exponentielle (et trigonométrie), racine n-ièmes, racines carrés en forme algébrique. Factorisation de polynômes dans R[X] et C[X]. Systèmes linéaires : généralités, méthode des pivots de Gauss, forme en échelons, systèmes homogènes, structure de l’ensemble des solutions. Systèmes dépendant d’un paramètre. Interprétation géométrique de l’ensemble des solutions (m=2,3) Géométrie en dimension 2 : vecteurs, droites, produit scalaire, changement de repère, coordonnées polaires, rotations, homothéties.

PROBABILITES: Combinatoire : nombre d'arrangements, de combinaison, interprétation. Problème de dénombrement. Manipulation des symboles Somme et Produit. Théorie des ensembles : intersection, réunion, différence symétrique, partition. Produit cartésien. Rappels de probabilités : Axiomes des probabilités sur un univers fini, indépendance, probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales et formule de Bayes. Variables aléatoires discrètes, espérance, variance Méthodes de calcul d'intégrales : systématisation du changement de variable, intégration par partie.

L1 SEMESTRE 2:
_ANALYSE
1 Suites de réels et complexes Définition de la convergence, propriétés élémentaires, comparaison des suites réelles. Suites extraites. Bolzano Weiertrass (sans démonstration). Propriétés de R : existence de la borne supérieure. Suites croissantes majorées et suites adjacentes. Segments emboîtés.
2 Continuité et dérivabilité Continuité (en un point fini ou infini), propriétés élémentaires, caractérisation séquentielle, prolongement par continuité. Notion d'intervalle, Théorème des Valeurs Intermédiaires, image d'un intervalle borné. Continuité et monotonie. Théorème de la bijection. Dérivés, propriétés élémentaires, Théorème de Rolle et des accroissements finis.
3 Formules de Taylor et applications Relation de comparaison (o,O, ~) pour les suites et les fonctions. Dérivées successives, formule de Leibniz, Formules de Taylor avec reste intégrale, inégalité de Taylor-Lagrange. Développements limités d'ordre n, propriétés (somme, produit, composé). Calcul de DL grâce à la formule de Taylor-Young.

_ALGEBRE
1 Ensembles Symboles logiques usuels. Applications injectives, surjectives, bijectives. Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables, raisonnement par récurrence.
2 Arithmétique de Z Division euclidienne dans Z. Décomposition en produit de facteurs premiers. PGCD, PPCM. Algorithme d’Euclide. Théorème de Bézout. Congruences dans Z.
3 Polynômes et fractions rationnelles à une indéterminée sur R ou C Division euclidienne dans K[X]. Algorithme d’Euclide. PGCD, PPCM. Expression de la somme et du produit des racines en fonction des coefficients. Enoncé du théorème de d’Alembert. Polynômes irréductibles de C[X], puis de R[X]. Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples dans R(X) et C(X).
4 Espaces vectoriels Espaces vectoriels sur R ou C, sous-espaces vectoriels, familles génératrices, libres, bases, dimension d’un espace vectoriel, rang d’une famille de vecteurs. Dimension du produit de deux espaces vectoriels et de la somme de deux sous-espaces vectoriels.
5 Applications linéaires et matrices Matrices. Applications linéaires : définition, noyau, image, exemples. Formule du rang. Matrice d’une application linéaire. Inversion d’une matrice par la méthode du pivot de Gauss. Changement de base. Déterminant d’une matrice 2 x 2 et lien avec l’inversibilité
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[stephen97]

Voici la suite:

L2 SEMESTRE 1:
ANALYSE
1 - Intégrales de Riemann
Suites de Cauchy. Continuité uniforme, théorème de Heine. Approximation des fonctions
continues à valeurs réelles par une fonction en escalier, intégrales des fonctions continues sur
un segment, relations de Chasle, inégalités de la moyenne. Fonctions intégrables, cas d'une
fonction positive. Critère de Riemann, comparaison (majoration, équivalence).
2 - Séries numériques
Convergence, reste, propriétés élémentaires. Critère de convergence pour les séries à termes
positifs : comparaison (majoration, équivalence), critère logarithmique, de D'Alembert, de
Cauchy, comparaison avec une intégrale. Séries de Riemann, de Bertand. Convergence
absolue, séries alternées. Comparaison suites-séries, étude des sommes partielles et du reste.
3 - Suites et séries de fonctions
Convergences simple et uniforme des suites de fonctions. Convergence normale des séries de
fonctions. Interversion des limites, application à la continuité des suites de fonctions
continues. Théorème de dérivations des suites ou des séries de fonctions.Théorème de
convergence dominée, intégration des séries de fonctions continues (théorème admis).
4 - Equations différentielles
Equations différentielles linéaires d'ordre 1 avec second membre. Equations différentielles
linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre simple.

ALGEBRE
1 Structures algébriques :Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, ordre d’un élément dans un groupe.
Groupes symétriques, signature d’une permutation, décomposition d’une permutation
en produit de cycles disjoints. Application au calcul de la signature et de l’ordre d’une
permutation.
2 Rappels et compléments sur les espaces vectoriels et les applications linéaires :
Sommes directes de deux espaces vectoriels, projections, symétries. Formule de
changement de base. Définition du déterminant d’une matrice, propriétés de
multilinéarité et d’antisymétrie. Méthodes de calcul. Lien avec les applications
linéaires. Déterminant d’un produit de matrices. Application des déterminants au
calcul de l’inverse d’une matrice, à la détermination du rang d’une matrice et aux
résolutions de systèmes linéaires d’équations homogènes. (Formules de Cramer).
3 Diagonalisation des endomorphismes :
Polynôme caractéristique. Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice et d’un
endomorphisme. Théorème de Cayley-Hamilton. Diagonalisation d’une matrice et
d’un endomorphisme par calcul des espaces propres Cas des projections et symétries.
Applications : suites récurrentes, puissance d’une matrice, exponentielle d’une
matrice, systèmes linéaires d’équations différentielles linéaires à coefficients
constants…

L2 SEMESTRE 2

_ANALYSE
1 - Fonctions de plusieurs variables
Dans R^n, notions de distance, boule, ouvert, fermé. Continuité de fonctions réelles ou
vectorielles de plusieurs variables. Dérivées partielles. Fonctions de classe C^k. Formule de
Taylor. Plan tangeant, gradient.
2- Intégrales (propres ou impropres) à paramètre
Théorème de continuité et dérivabilité (avec hypothèse de domination).
3 - Séries entières
Définition, rayon de convergence, convergence uniforme sur tout disque fermé inclus dans le
disque de convergence. Somme, produit. Dérivation et intégration. Développement séries
entières de fonctions classiques. Résolution d'équations différentielles.
4 - Séries de Fourier
Coefficients de Fourier (complexes ou réels). Passage de l'un à l'autre. Théorème de Dirichlet
et de Parseval. Convergence normale des séries de Fourier de fonctions de classe C1.

ALGEBRE
1. Structures algébriques et Arithmétique :
– Compléments sur les groupes : sous-groupes, sous-groupes de
. Théorème de
Lagrange, groupes-quotients dans le cas commutatif, et premier théorème
d’isomorphisme des groupes (dans le cas commutatif), ordre d’un élément dans un
groupe, groupes cycliques, sous-groupes d’un groupe cyclique.
– Anneaux, corps, algèbres : définitions et propriétés élémentaires, idéaux et quotients
d’anneaux commutatif, théorème d’isomorphisme pour les anneaux.
– Application à l’anneau
: Structure de corps de Z/pZ pour p premier. Equations dans

/ n
. Systèmes de congruences linéaires et Théorème chinois. Application à la
décomposition du groupe (Z/ nZ)* , et au calcul de l’indicateur d’Euler. Petit théorème
de Fermat et théorème d’Euler. Système de cryptographie RSA.
– Application à l’Algèbre K[X] : Définition de l’anneau des polynômes en une
indéterminée à coefficients dans un corps K ou un anneau commutatif unitaire, reprise
des propriétés de divisibilité (division euclidienne), décomposition en produit de
facteurs irréductibles. Idéaux de K[X].
2. Compléments sur les réductions d’endomorphismes :
Sommes directes (multiples) d’espaces vectoriels. Systèmes de projecteurs. Théorème
de Cayley Hamilton, polynômes annulateurs d’un endomorphisme, polynôme
minimal d’un endomorphisme. Espaces caractéristiques, théorème de noyaux. Critère
de diagonalisabilité par polynôme annulateur.
3. Espaces vectoriels euclidiens :
Définition d’un espace vectoriel euclidien. Expression matricielle du produit scalaire.
Existence d’une base orthonormée, méthode de Gram-Schmidt. Orthogonal d’une
partie ou d’un sous-espace vectoriel. Somme directe orthogonal.Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski.Norme euclidienne.

[Tryss2]

Le principal avantage qu'ont ceux qui font une prépa, c'est qu'ils sont préparés à passer des concours.

Après, le programme officiel des classes préparatoires est ici :
- Première année (MPSI) : http://cache.media.education.gouv.fr...PSI_252456.pdf
- Deuxième année (MP) : http://cache.media.education.gouv.fr...ues_287424.pdf

Le programme semble sensiblement identique.

[stephen97]

J'ai déjà vu les programmes de MPSI et de MP mais je vous avoue que pour un L1 comme moi,il est difficile de trouver des similitudes,c'est pourquoi je préfère avoir des avis de ceux qui ont deja des connaissances plus solides des mathématiques du superieur

[A voir en vidéo sur Futura]

[stephen97]

Par exemple le cours "espaces de dimension finie" est vue au second semestre de MPSI mais n'apparaît pas dans le programme donnée par ma fac.

Or,je suis sûr que ce cours est comme même vu à la fac avant la fin de L2 et qu'il est par exemple une notion de base dans un autre cours du programme de L2.

C'est à cause de ce genre de soucis que j'ai besoin de votre analyse expérimentée