Bonsoir,
J'ai une question à propos cet exercice:
Soit A une partie majorée de R, et M l'ensemble des majorants de A.
Montrer que M est minoré puis comparer Inf(M) et Sup(A).
Faut il démontrer que inf(A) <= sup(A) et sup(A) <= inf(A) pour en déduire que inf(A)=sup(A)?
Merci pour votre aide !
Il y a des M qui se sont transformés en A dans ce que tu nous expliques. Mais sinon, oui, c'est l'idée
Je n'ai pas compris ce que vous dites à propos des M transformé en A, sinon voici mon essai :
A non vide et majoré donc sup(A) existe
M est l'ensemble des majorants de A par définition: pour tout x appartient A: x < = M
M est minoré par tout les éléments de A, et donc par sup(A)
Tout les éléments de M sont minorés par sup(A), inf(M) est minoré par sup(A) : sup(A) < = inf(M).................(1)
inf(M) est le plus petit des minorants de M, sup(A) est un minorant de M alors on a inf(M) > = sup(A)..................(2)
De (1) et (2) on obtient : inf(M)=sup(A)
Je ne suis pas sûr de ma démarche, pourriez-vous me dire si elle est correcte ou fausse ? Et merci encore..
Pour ma première remarque, c'est juste que tu avait écris "Faut il démontrer que inf(A) <= sup(A) et sup(A) <= inf(A) " au lieu de "Faut il démontrer que inf(M) <= sup(A) et sup(A) <= inf(M)"
Sinon tel quel, ta démonstration est erronée : sup(A) n'est pas nécessairement un élément de A et inf(M) n'est pas nécessairement un élément de M.
Tu ne peux donc pas dire, à priori, que "M est minoré par tout les éléments de A, et donc par sup(A)"
Pardon pour mon erreur..
J'ai rectifié ma réponse:
soit x un élément de A, m un élément de M
Au lieu de ça, je peux peut-être dire que : Pour tout x appartenant à A: x < = sup(A) < = m
tous les éléments de M sont minorés par sup(A) : pour tout m appartenant à M: sup(A) < = m (sup(A) un minorant de M)
d'autre part: pour tout m appartenant à M: inf(M) < = m
inf(M) est le plus grand des minorants donc : sup(A) < = inf(M) .........(1)
Mais j'arrive pas à démontrer que sup(A) > = inf(M)
"Mais j'arrive pas à démontrer que sup(A) > = inf(M) " est ce que par hasard, sup(A) ne serrait pas un majorant de A ?
si, mais il est inférieur à M donc inférieur à inf(M).. je bloque, je ne vois pas comment démontrer sup(A) >= inf(M) svp aidez-moi, je suis perdu..
Mais non ! sup(A) est un majorant de A, donc par définition de M, sup(A) appartient à M !
Ah d'accord, j'ai très bien compris merci beaucoup pour votre aide !!
