Espace Vectoriel

[David977]

Bonjour,
Je bloqué sur un exercice d'application plutôt directe et je vois comment faire mais je n'y arrive pas

Enoncé :
Dans R^3, on considère les vecteurs u=(2,3,-1), v=(1,-1,-2), w=(3,7,0) et x=(-5,0,7).
Montrer que vect(u,v) = vect(w,x).

J'ai écrit :
Vect(u,v) = {Au+Bv, (A;B) € R²) (la j'ai mis R² mais rien dans l'énoncé ne précise, je devrais mettre K ou garder R² parce qu'on est dans R^3 ?)
Donc Au+Bv=(2A+B ; 3A-B ; -A-2B)
Et j'ai vu sur un autre topic qu'il fallait bidouiller pour retrouver une combinaison linéaire de w et x.
Du coup j'ai fait la même chose pour w et x mais je ne vois vraiment pas le lien ...

Merci de votre aide !
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[gg0]

Bonjour.

"là j'ai mis R² mais rien dans l'énoncé ne précise, je devrais mettre K ou garder R² parce qu'on est dans R^3 ?"
C'est à toi de savoir, c'est toi qui décides d'utiliser ces nouvelles lettres A et B. Donc si tu n'es pas en train d'imiter un texte mathématique que tu n'as pas cherché à comprendre, décide toi-même de ce que sont A et B, puis, si tu tiens à utiliser (A,B), tu verras bien à quel ensemble il appartient.
Question 1 : Que sont ces A et B ?

"Du coup j'ai fait la même chose pour w et x"
Question 2 : Pourquoi ?
Question 3 : Qu'as-tu fait exactement ?

"je ne vois vraiment pas le lien" Donc ce que tu as fait ne sert pas à grand chose !

Question 4 : Que dois-tu démontrer ?
Question 5 : comment peut-on démontrer ce genre de choses ?

A toi de travailler...

[David977]

Bonjour.

"là j'ai mis R² mais rien dans l'énoncé ne précise, je devrais mettre K ou garder R² parce qu'on est dans R^3 ?"
C'est à toi de savoir, c'est toi qui décides d'utiliser ces nouvelles lettres A et B. Donc si tu n'es pas en train d'imiter un texte mathématique que tu n'as pas cherché à comprendre, décide toi-même de ce que sont A et B, puis, si tu tiens à utiliser (A,B), tu verras bien à quel ensemble il appartient.
Question 1 : Que sont ces A et B ?

Au+Bv désigne les combinaisons linéaires, je me suis rapporté à la définition de Vect(u,v). C'est pour ça que j'hésitais, mais après hésitation, je pense que je mets R² tout simplement.

"Du coup j'ai fait la même chose pour w et x"
Question 2 : Pourquoi ?
Question 3 : Qu'as-tu fait exactement ?

Pareil, en fait je ne savais pas où aller, et je me suis dit qu'il fallait partir de la définition aussi.

"je ne vois vraiment pas le lien" Donc ce que tu as fait ne sert pas à grand chose !

Question 4 : Que dois-tu démontrer ?
Question 5 : comment peut-on démontrer ce genre de choses ?

Je dois démontrer une égalité (vect(u,v) = vect(w,x)), donc je peux procéder par double inclusion, j'ai essayé de chercher ça donne :

Soit x un élément de vect(u,v)
Il peut s'écrire sous la forme Au +Bv.

et à la fin de la démonstration je dois arriver à : donc x appartient à vect(w,x)

C'est pour ça que j'ai écris les définitions de vect(u,v) et vect(w,x), mais je n'arrive pas à changer l'écriture de Au+Bv, à part que les constantes décrivent R.

Puis même "blocage" dans l'autre inclusion.

[gg0]

Bon,

on va pouvoir avancer. Mais tu n'as jamais répondu à la question 1.

Pour la double inclusion, tu as déjà fait une bonne partie. Tu sais que les éléments de vec(u,v) s'écrivent (2A+B ; 3A-B ; -A-2B) où A et B sont ...
Si w et x sont dans vec(u,v), il est immédiat que vec(w,x) est contenu dans vec(u,v) (*). Donc voila la première chose à faire; w et x peuvent-ils s'écrire (2A+B ; 3A-B ; -A-2B) ?

Bon travail !

(*) des combinaisons linéaires de combinaisons linéaires de u et v sont des combinaisons linéaires de u et v.

[A voir en vidéo sur Futura]

[David977]

Bon,

on va pouvoir avancer. Mais tu n'as jamais répondu à la question 1.

Pour la double inclusion, tu as déjà fait une bonne partie. Tu sais que les éléments de vec(u,v) s'écrivent (2A+B ; 3A-B ; -A-2B) où A et B sont ...

Il me semble que A et B sont des constantes décrivant R.

Si w et x sont dans vec(u,v), il est immédiat que vec(w,x) est contenu dans vec(u,v) (*). Donc voila la première chose à faire; w et x peuvent-ils s'écrire (2A+B ; 3A-B ; -A-2B) ?
(*) des combinaisons linéaires de combinaisons linéaires de u et v sont des combinaisons linéaires de u et v.

Aaaah, je vois !

Merci beaucoup pour l'aide ! Je rédige tout ça de suite et je vois si ça marche

[David977]

Merci beaucoup, ça marche !

Une petite question, quel a été le cheminement de votre pensée pour trouver qu'il fallait faire ce raisonnement, je comprends que pour démontrer une égalité on ait le réflexe double inclusion mais pour la suite, c'est un mécanisme à avoir dans ce chapitre (tout nouveau pour moi) qui se répète plus ou moins ?

[gg0]

Oh, simplement bientôt 50 ans d'expérience, et une bien meilleure connaissance du cours.

En fait, si tu avais essayé d'écrire que les éléments de vect(w,x) sont dans vect(u,v) tu aurais pu te rendre compte que x et w suffisent. Quant au reste, c'est simplement du décodage d'énoncé (sens des mots, théorèmes associés, ..) et du défilement classique je veux faire ça, donc j'ai besoin de montrer ceci ce qui m'amène à faire ...
prends l'habitude de te poser les questions : comment le faire ? qu'est-ce que ça veut dire ? qu'est-ce qu'on a comme outils (définitions, théorèmes, méthodes, ...).

Cordialement.

[David977]

Oh, simplement bientôt 50 ans d'expérience, et une bien meilleure connaissance du cours.

En fait, si tu avais essayé d'écrire que les éléments de vect(w,x) sont dans vect(u,v) tu aurais pu te rendre compte que x et w suffisent. Quant au reste, c'est simplement du décodage d'énoncé (sens des mots, théorèmes associés, ..) et du défilement classique je veux faire ça, donc j'ai besoin de montrer ceci ce qui m'amène à faire ...
prends l'habitude de te poser les questions : comment le faire ? qu'est-ce que ça veut dire ? qu'est-ce qu'on a comme outils (définitions, théorèmes, méthodes, ...).

Cordialement.

Ok ça marche, j'essaierai de me poser ces questions à l'avenir
Merci beaucoup pour l'aide