Majoration des sommes des coefficients de polynôme

[theophrastusbombastus]

Bonjour, (bonsoir vu l'heure)
Alors voila, petit problème pour un exercice (et pour faire court) j'obtiens la relation de récurrence suivante :

où est un polynôme en et
ca c'est donné... ensuite pour redonner l’énoncé dans les grandes lignes on doit trouver le degrés de là on trouve (si je dis pas de bêtises). Ensuite on nous donne le polynôme sous la forme suivante :

Et la question fatidique "pour tout , montrer que les coefficients sont positifs et de somme inférieur à

Alors mes pistes de recherches on été la récurrence, c'est vrai pour mais après avoir supposé l’hypothèse vrai au rang je sais vraiment pas quoi faire de mes données...
j'ai essayé de bosser avec des sigma, de faire apparaître des avec la dérivations de regrouper des termes mais ca semble sterile !
j'avais essayé de trouver une relation de récurrence sur les coef parceque on devine facilement pourquoi on a du et du mais rien !
Enfin n'importe quel conseils de raisonnement est le bienvenue ! (je vais abusé en demandant si il n'y aurait pas un corrigé qui traîne sur internet... on sait jamais ! surtout que je fais cet exercice pour le plaisir donc il n'y a aucuns enjeux "scolaires" ! Juste une "occupation")
merci d'avance de vos réponses et du temps que vous m'accordez !
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[invite23cdddab]

Il est clair que si les coefficients de P_n sont positifs, alors les coefficients de P'_n sont positifs aussi (on multiplie chacun par un entier positif)

Et ensuite, si les coefficients de P'_n sont positifs, alors ceux de P'_n(X)*(1+X²) aussi (On ajoute des coefficients positifs)

Ensuite, la somme des a_(n,j), c'est simplement P_n(1). On a donc

[theophrastusbombastus]

ahhh merci beaucoup !!!!
la d'un coup c'est plus clair... il me reste juste un petit doute sur la justification d'une étape (je vais donc vous embêter avec) :

du coup je vais déjà recopier un peu ce que vous m'avez donné :

A partir de la relation de récurrence et en constatant que on en déduis la relation

donc remis en notation de somme : ou on part de a cause de la dérivation qui "enlève" le terme constant .

C'est pour la suite du problème ou je me trouve un peu plus bancale, donc on peut "majorer" par ce qui nous donne l’inégalité :


apres c'est logique avec une récurrence on trouve le terme toujours inférieur à donc
le seul truc qui me chiffonne c'est de quel "manière" on passe de à dans ce que vous avez noté c'est, d'accord, exactement ce qu'on veut. Mais comment le justifie t-on ?
(encore merci pour votre réponse aussi claire et concise)

[invite51d17075]

c'est plus simple :


comme

alors

la dernière car on ne fait que rajouter un terme positif.
soit


et on a notre recurrence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[theophrastusbombastus]

Heinnn bah oui vu comme ça... on ne fait "qu'encadrer l’inégalité" et ca marche très bien !
en tout cas merci pour vos réponses et la rapidité avec laquelle vous m'avez aidé, un grand merci. Sur ce bonne journée a vous !