Majoration d'un polynome de degré n

[invite033bcb4c]

Existe-t-il une constante C tel que tout polynôme P de degré n soit majoré par C(1+t^n).

Merci.
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[invite4ef352d8]

Salut !

ba non : le polynome 2C(1+t^n) n'est pas majoré par C(1+t^n)

en revanche, si tu change l'ordre des quantificateurs ca marche (enfin si n est pair, ou que tu te restreint à t>0 ) :


pour tous polynome P de degrée n, il existe une constante C tel que P est majoré par C(1+|t|^n)

[invite033bcb4c]

Pour tout polynome P de degré existe t il une constante C telle que
P<C(1+t^n) et j'ajoute t>=0

Y'a t il une preuve de ca?

[invite4ef352d8]

Dans ce cas c'est vrai, et voici la preuve :

P = somme des ak.x^k

si je prend X=2an, j'ai P(t)/(C(1+t^n)) qui tend vers 1/2, donc il existe t_0 tel que pour tous t>t_0 P(t) < C(1+t^n) mais ce n'est pas suffisant.

Mais P(t)/(1+t^n) est une fonction continu, donc elle admet un maximum M sur [0,t_0]

en prenant C' = Max (M,2an) tu as le résultat voulue. : pour t>t_0 P(t) < C'(1+t^n) car C'>2an.

et pour t<= t_0
P(t) <M(1+t^n) <= C'(1+t^n)

[A voir en vidéo sur Futura]