Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables
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Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables



  1. #1
    paslabossedesmath

    Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables


    ------



    Calculer les dérivées partielles premières de la fonction :

    f(x,y)=(x^2+xy)/xy

    Désolé je suis bloquée à ce stade là, je ne sais pas quoi faire. Je sais que c'est pas très sympa de laisser tout faire le travail à ma place mais ce sera pour moi le seul moyen de comprendre à mon avis

    Déterminez et préciser la nature des "extrema" (je ne sais même pas ce que c'est) éventuels de la fonction f définie par :

    f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+2y+4

    Merci infiniment

    -----

  2. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : Problèmes numéro 2

    Citation Envoyé par paslabossedesmath Voir le message

    Désolé je suis bloquée à ce stade là, je ne sais pas quoi faire. Je sais que c'est pas très sympa de laisser tout faire le travail à ma place mais ce sera pour moi le seul moyen de comprendre à mon avis
    la dérivée partielle en x, c'est la dérivée de la fonction f(x,y) vue comme fonction de x seulement (y étant fixé donc). Si tu sais dériver une fonction d'une variable réelle, tu ne devrais pas avoir de difficulté à trouver les dérivées partielles.

  3. #3
    paslabossedesmath

    Re : Problèmes numéro 2

    la dérivée du premier problème est de

    (2x+1)/1 ? c'est exact ?

  4. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    non: d'abord tu ne peux pas supposer que y=1 et ensuite la dérivée d'un quotient de fonctions n'est pas le quotient des dérivées. Si je me souviens bien, on a quelque-chose comme (fg)'=(f'g-g'f)/g^2 et il faut faire attention aux cas où g=0.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Scorp

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    Citation Envoyé par paslabossedesmath Voir le message


    Calculer les dérivées partielles premières de la fonction :

    f(x,y)=(x^2+xy)/xy

    Désolé je suis bloquée à ce stade là, je ne sais pas quoi faire. Je sais que c'est pas très sympa de laisser tout faire le travail à ma place mais ce sera pour moi le seul moyen de comprendre à mon avis
    Comme il a été dit, la dérivée partielle par rapport à x est la dérivée de f(x, y) où tu considères y comme une constante.
    Par exemple, la fonction f(x, y)=2.y.x aura pour dérivée car y joue ici le même rôle que la constante 2. Du coup, seul x doit être dérivé par rapport x (ce qui donne 1) d'où le résultat.

    Citation Envoyé par paslabossedesmath Voir le message
    Déterminez et préciser la nature des "extrema" (je ne sais même pas ce que c'est) éventuels de la fonction f définie par :

    f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+2y+4

    Merci infiniment
    La, il faut avoir vu la méthode, sinon c'est difficile.

    Un premier théorème est que dans un ouvert, les extremums (maximum, minimum, point scelle) sont des points critiques de ta fonction (c'est à dire que les dérivées partielles de ta fonction seront nulles en ce point).

    Dans ton cas, il faut donc commencer par chercher tous les points qui vérifient ce théorème, soit :
    et

    Une fois que tu auras tous ces points (dit point critique), il y a alors 3 possibilités :
    - soit c'est un maximum
    - soit c'est un minimum
    - soit c'est un point scelle

    Pour déterminer dans quel cas tu es, il faut pour chaque point scelle faire un développement au second ordre de f(x, y) autour du point critique. Le plus simple est d'utiliser les résultats sur la Hessienne (matrice des dérivées d'ordre 2) qui te donnera des critères faciles à appliquer. Sinion, il faut se débrouiller un peu comme peut à partir du développement.

    Si ton étude se porte sur un fermé, alors tu dois faire l'étude précédente + une étude sur les bords du domaine (où un extremum n'est alors plus forcément un point critique !)

  7. #6
    paslabossedesmath

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    Bien sûr bien sûr... dsl j'ai vite tendance à oublier 2-3 notions de base en math, ce qui n'a pas tendance à m'aider...

    alors si je reprends...

    f(x,y)=(x^2+xy)/xy

    (f/g)'=(f'g-fg')/g'

    donc...

    ((2x+y)xy-(x2+xy)y)/y

    = (2x^2y+xy^2-x^2y-xy^2)/y

    = x^2

    c'est bien exact ?

    Merci bcp Ambrosio

    (si tu peux m'aider pour le deuxième ce serait super mais je veux pas abuser)

  8. #7
    paslabossedesmath

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    merci scorp... je crois que pour le premier c'est bon... je prends le temps de regarder tout ça pour le deuxième

  9. #8
    invite986312212
    Invité

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    au dénominateur, c'est le carré de g, et puis je crois que tu dois calculer aussi la dérivée en y.

  10. #9
    paslabossedesmath

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    Merci !!! Alors je reprends...

    f(x,y)=(x^2+xy)/xy

    (f/g)'=(f'g-fg')/g^2

    donc pour x

    ((2x+y)xy-(x2+xy)y)/(xy)^2

    = (x^2y)/(xy)^2 = (j'espère pas faire de bêtise) x/xy pour x

    donc pour y

    ((x xy)-(x^2+xy)x)/(xy)^2

    =-x^3/(xy)^2 pour y


    Est-ce que ça vous à l'air correct ? Le travail pour le premier exercice est terminé (si je ne me suis pas trompé bien évidemment)

  11. #10
    Scorp

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    Ca me semble tout à fait juste.

    La dernière serait quand même à simplifier en

  12. #11
    paslabossedesmath

    Re : Dérivées partielles et extrema d'une fonction de deux variables

    Bonjour tout le monde. Ce site est vraiment super, merci en tout cas pour le coup de main pour le premier exercice. Maintenant je vous avoue que c'est le deuxième qui pose problème.

    f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+2y+4

    donc pour avoir les extrema, si je comprends bien "Scorp", il faut que je pose l'équation = 0 ? Je ne vois pas vraiment comment avancer, je suis un peu cruche pour les math.

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