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Détermination d'un polynôme de degré 3



  1. #1
    Great Teacher Onizuka

    Détermination d'un polynôme de degré 3


    ------

    Voilà, j'ai un petit problème pour une question d'exercice. La voici:
    Déterminer un polynôme P de degré 3 tel que, pout tout réel x, P(x+1)-P(x)=x^2.

    Mon point de départ est le suivant: P(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

    P(x+1)=(ax+1)^3+(bx+1)^2+cx+d
    =ax^3+3ax^3+3ax+1+bx^2+2bx+1+c x+d.

    Le problème c'est que: a=0 et je me retrouve avec, une fois la soustraction faite avec 3x(a+2\3b+c).

    Comment faire?

    -----

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  3. #2
    fderwelt

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    Bonjour,

    Simple erreur de calcul. Si tu pars de
    P(x) = ax³ + bx² + cx + d
    tu auras
    P(x+1) = a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d
    Tu développes et tu fais la soustraction P(x+1) - P(x), ça ne doit pas poser de problème.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    Great Teacher Onizuka

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    Le développement d'une fonction cube, c'est: a^3+3ai^3+3a^3i+i^3 ou a^3+3ai^2+3a^2i+i^3? Après avoir fait la soustraction, c'est bien une identification qu'il faut faire?

  5. #4
    fderwelt

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    Hmmm... rappel:
    (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x +1
    (x + 1)² = x² + 2x + 1
    Après, c'est effectivement une simple identification. Le coefficient de x³ dégage complètement dans la soustraction P(x+1) - P(x), et les autres te donnent des conditions sur a, b, c et d. Encore que d dégage aussi, il est donc arbitraire.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Great Teacher Onizuka

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    Voilà ce que j'obtiens:

    ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx +c+d-(ax^3+bx^2+cx+d)

    ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx +c+d-ax^3-bx^2-cx-d

    3ax^2+2bx+3ax+b+c+a.

    3ax^2+3x(a+2\3b)+a+b+c

    Donc: 3a=1
    a=1

    1+2\3b=0
    b=-3\2

    1-3\2+c=0
    c=1\2

  8. #6
    fderwelt

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    C'est ça. Enfin, presque... depuis quand 3a = 1 donne-t-il a = 1? Sinon après on a par identification 3a + 2b = 0 (d'où la valeur de b) et a + b + c = 0 (d'où la valeur de c).

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

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  10. #7
    Great Teacher Onizuka

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    A oui, mince, j'étais emporté par l'exitation d'avoir réussi la question.
    Donc: P(x)=1\3x^2-1\2x+1\2

  11. #8
    Great Teacher Onizuka

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    Non, mince, c'est:
    a=1\3
    b=-1\3
    c=1\6

    Donc, P(x)= 1\3x^2-1\3x+1\6

  12. #9
    fderwelt

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    J'ai a = 1/3, b = -1/2, c = 1/6. Attention à tes fractions.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  13. #10
    Great Teacher Onizuka

    Re : Détermination d'un polynôme de degré 3

    Ok. J'essaierai de faire attention!! Merci. Les maths sont plus intéressantes quand c'est facile.

    A bientot.

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