Voilà, j'ai un petit problème pour une question d'exercice. La voici:
Déterminer un polynôme P de degré 3 tel que, pout tout réel x, P(x+1)-P(x)=x^2.
Mon point de départ est le suivant: P(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
P(x+1)=(ax+1)^3+(bx+1)^2+cx+d
=ax^3+3ax^3+3ax+1+bx^2+2bx+1+c x+d.
Le problème c'est que: a=0 et je me retrouve avec, une fois la soustraction faite avec 3x(a+2\3b+c).
Comment faire?
Bonjour,
Simple erreur de calcul. Si tu pars deP(x) = ax³ + bx² + cx + dtu aurasP(x+1) = a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + dTu développes et tu fais la soustraction P(x+1) - P(x), ça ne doit pas poser de problème.
-- françois
Le développement d'une fonction cube, c'est: a^3+3ai^3+3a^3i+i^3 ou a^3+3ai^2+3a^2i+i^3? Après avoir fait la soustraction, c'est bien une identification qu'il faut faire?
Hmmm... rappel:(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x +1Après, c'est effectivement une simple identification. Le coefficient de x³ dégage complètement dans la soustraction P(x+1) - P(x), et les autres te donnent des conditions sur a, b, c et d. Encore que d dégage aussi, il est donc arbitraire.
(x + 1)² = x² + 2x + 1
-- françois
Voilà ce que j'obtiens:
ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx +c+d-(ax^3+bx^2+cx+d)
ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx +c+d-ax^3-bx^2-cx-d
3ax^2+2bx+3ax+b+c+a.
3ax^2+3x(a+2\3b)+a+b+c
Donc: 3a=1
a=1
1+2\3b=0
b=-3\2
1-3\2+c=0
c=1\2
C'est ça. Enfin, presque... depuis quand 3a = 1 donne-t-il a = 1? Sinon après on a par identification 3a + 2b = 0 (d'où la valeur de b) et a + b + c = 0 (d'où la valeur de c).
-- françois
A oui, mince, j'étais emporté par l'exitation d'avoir réussi la question.
Donc: P(x)=1\3x^2-1\2x+1\2
Non, mince, c'est:
a=1\3
b=-1\3
c=1\6
Donc, P(x)= 1\3x^2-1\3x+1\6
J'ai a = 1/3, b = -1/2, c = 1/6. Attention à tes fractions.
-- françois
Ok. J'essaierai de faire attention!! Merci. Les maths sont plus intéressantes quand c'est facile.
A bientot.
