Produit scalaire pour un novice

[Evocation]

Bonjour. Je suis en première année de Mpsi et j'ai besoin de votre aide concernant le produit scalaire.

En faite je n'ai pas encore vue cette notion en cours de prépa maths, mais j'en ai besoin en physique en tant qu'outil.
J'ai pu lire la formule :
Soit a et b deux vecteurs, c et d leur norme (respectivement), O l'angle les séparant. Alors a.b = c.d.cosO

J'ai besoin de votre aide pour comprendre comment marche la distributivité. Si a = (1,2,3) et b = (4,5,6), que vaut a.b sans passer par la précédente formule ?
Est-ce que a.b =(4,10,18) ou a.b= (4+5+6,8+10+12,12+15+18) ou autre chose ?
Surtout, pourriez vous m'expliquer pourquoi ?

Cordialement.
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[Curuxa]

Pour le produit scalaire avec cosinus on peut parler de produit scalaire "canonique" (en gros le plus "intuitif") qui associe à deux vecteurs un scalaire (donc ici ce doit être un réel) et ce scalaire est défini comme le produit de la norme du vecteur a avec la norme de la projection orthogonale de b sur a (cosO ||b||), tu peux le visualiser en dessinant deux vecteurs. (ce serait équivalent de faire la norme de b avec la projection de a sur b un peu de trigo te donnera une illustration!)

Quant à ta fameuse distributivité, ça ne fonctionne pas, tu as deux vecteurs et tes opérations ne renvoient pas du tout un scalaire mais un vecteur. Tu auras en fai (a_1,a_2,a_3) et (b_1,b_2,b_3) si on est dans R^3 et le produit scalaire donnera: a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. (Et là j'avoue que je ne sais plus tout à fait pourquoi...il faut que je vois ça).

[ansset]

pour la distributivité on a bien :


le reste de tes propositions est totalement faux.

[ansset]

on peut aussi en tirer une extension de Pythagore avec

qui reste

pour un triangle rectangle

[A voir en vidéo sur Futura]

[Curuxa]

Je tente une approche plus précise.

On a vu ci-dessus l'interprétation géométrique du produit scalaire, pour illustrer on peut se mettre dans R^2 et noter notre produit scalaire a.b.

Par le théorème de Pythagore, tu sais que, pour un vecteur et tu constates, vu l'interprétation géométrique du produit scalaire, que ||a||^2=a.a (car cos 0 =1 et 0 est l'angle entre a et a).

On est dans R^2, on se donne une base orthonormale x,y (une base orthonormale ça signifie ||x||=||y||=1 et x est orthogonal à y donc x.y=0 car cos 90°=0), prenons deux vecteurs quelconque a=(a_1,a_2) et b=(b_1,b_2) où a se décompose a_1x+a_2y et b se décompose de façon similaire tu trouves donc:



les termes où interviennent du x.y s'annulent (on s'est donné x,y orthogonaux) reste a_1b_1+a_2b_2.

Voilà comment on passe de cette définition géométrique à l'expression analytique. Tu remarqueras aussi que le produit scalaire est ici très dépendant du choix de notre base, je dis cela pour te laisser sentir qu'il n'existe pas un unique produit scalaire, cette définition développée ici est la première que l'on apprend et elle est en un sens "intuitive". J'espère t'avoir donné tous les éléments pour comprendre le concept. Bon boulot!

[ansset]

Tu remarqueras aussi que le produit scalaire est ici très dépendant du choix de notre base!

pardon?
pour deux bases orthonormées ?
ni les normes changent , ni l'angle.
comment serait ce différent?

[ansset]

@Evocation:
je te suggère d'oublier ce que dit Curuxa.

[Lucien-O.]

Bin justement, j'ai choisi une base orthonormée, si mes vecteurs n'étaient pas normés je n'aurais pas la même définition de produit scalaire? Je n'ai pas l'impression d'avoir dit n'importe quoi en tout cas...

[ansset]

comprend pas.
tu as 2 pseudos ?
pour l'instant, Lucien n'est pas intervenu, mais Curuxa oui.
sinon je peux citer toutes les erreurs écrites.

[Lucien-O.]

(Oui oui, ce n'est pas volontaire)

Ah et bien, écoute ça me ferait même plaisir, je me corrigerais à l'avenir ainsi

[Curuxa]

Je viens de relire ce post et je trouve 3 erreurs dans mes propos:

1) Le produit scalaire en lui même ne change pas (les normes et les angles sont préservés, comme vous le disiez) mais son expression analytique change en fonction de la base.
2) On ne parle pas de produit scalaire canonique pour la formule ||a|| ||b|| cos O, l'expression s'applique à l'expression analytique, dans la base canonique, du produit scalaire.
3) Plus minime: ça n'a pas de sens de parler de "norme de la projection orthogonale" puisque la proj. est un scalaire...

Bref, je suis désolé d'avoir laisser ces erreurs trainer...et, bien sûr, je suis preneur si tu en relèves d'autres Ansset. Ca affinera ma propre compréhension. Je crois tout de même qu'il y a dans mes messages, de bons éléments pour introduire le concept de produit scalaire à Evocation.

Cordialement

[ansset]

je ne vais pas reprendre tout le fil mais il me semble que tu as affirmé qu'il n'était pas distributif. Or , il l'est bien sur.
( voir le post #3 )
par ailleurs, dans tes formules , ( à défaut ) il n' a pas de distinction d'écriture entre ce qui est "scalaire" et "vecteur".
et quand je lis ça :

si on est dans R^3 et le produit scalaire donnera: a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. (Et là j'avoue que je ne sais plus tout à fait pourquoi...il faut que je vois ça).

c'est effrayant !

et qui est Lucien ?

[Curuxa]

Bien sûr qu'il l'est, j'ai peut-être surinterprété ce que voulait dire Evocation par distributif mais, vu ce qui suivait dans sa question, il me semblait qu'il cherchait l'expression analytique du produit scalaire et donc qu'il employait mal le terme de distributivité.

En revanche je ne vois pas bien ce que cela a d'effrayant...j'avais précisé avant que les a_i b_j étaient les projections des vecteurs a et b...

NB: Lucien c'est moi, j'ai seulement perdu l'adresse qui me relie au compte Lucien qui est toujours actif sur le pc bureau...donc je dois utiliser Curuxa sur le portable

[ansset]

ce qui m'importe, c'est le primo-posteur.
pas un débat sur tes dires.
cordialement

[Curuxa]

Ceci est légitime, mais, si vous vous intéressez comme vous le dites au "primo-posteur", pourquoi lui décrire le concept de produit scalaire comme "quelque chose qui permet de généraliser Pythagore" c'est un peu austère comme introduction non? Je ne prétends pas avoir la science infuse et je sais que je fais beaucoup d'erreur, mais j'ai tenté de faire honnêtement comprendre la notion...vous manquez cruellement d'assertivité...

[ansset]

j'ai juste cité le lien.
s'il est en MPSI, franchement le concept de produit scalaire devrait être immédiat ou très rapide, pas la peine d'en faire 3 pages.
par contre, évitons d'écrire des choses inexactes ou peu compréhensibles.
sur ce, je sors de cette discussion.

[Evocation]

Bonjour.

J'ai peut-être mal employé le terme de distributivité. En faite, ma question provient de l'exercice suivant :
Soit le vecteur V (8t, 4(1-t²), 3t²+3). J'aimerai savoir quel est l'angle O entre ce vecteur et l'axe (Oz). L'idée, proposée par l'énoncée, est de calculer le produit scalaire V.ez = (norme V)*cosO.
Ainsi, j'ai besoin de trouver ce que vaut (8t, 4(1-t²), 3t²+3)*(0,0,1).
En testant (à moins que ce soit une coïncidence), j'ai trouvé que ce produit donne pour résultat 3t²+3. Pourquoi ?

Cordialement.

[Curuxa]

Tout simplement et, si tu veux l'angle entre les deux (il sera dépendant de t) tu prends .

Où, finalement, tu peux calculer en faisant .

[Evocation]

Très bien.
Du coup, si je veux généraliser, je peux dire que (a,b,c)*(d,e,f) = ad+be+cf ?

[Curuxa]

Oui, c'est la bonne expression analytique. C'est ce genre de chose que tu cherchais en demandant "une distributivité" ? Car, la distributivité, c'est ce qu'Ansset t'expliquait dans le message 3, rien à voir avec ceci.

[Evocation]

Oui c'est bien ce que je cherchais. Merci pour vos réponses !