statistique et échantillon

[zaskzask]

Bonjour =)

Je lis dans un pdf de statistique la chose suivante (x1,...,xn sont les valeurs prises dans l'échantillon):

x1, . . . , xn sont n réalisations indépendantes d’une même variable aléatoire sous-jacente X. Il est équivalent de supposer que x1, . . . , xn sont les réalisations de variables aléatoires X1, . . . , Xn

Je comprends la première interprétation : Si on lance un dé 3 fois et on définit X="le nombre de 6 sur les 3 lancés" alors les x_i sont les résultats de X(w_i) ou w_i appartient à l'ensemble fondamental. Mais si on dit que les x_i suivent chacun un X_i différent, ça semble bizarre. Je comprends pas la deuxième formulation. =(
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[minushabens]

C'est pourtant la deuxième formulation qui est la plus classique. La première n'a pas vraiment de sens en probabilités.

Le paradigme classique en statistique est le suivant: On se donne un espace probabilisable et un ensemble de lois de probabilités sur E. On définit le produit restreint où la restriction signifie que l'on prend les produits de la même loi . Un n-échantilon est simplement la projection d'un élément de cet espace sur les n premières coordonnées, en d'autres termes, un élément du produit restreint

[zaskzask]

Euh... J'ai rien compris.
Pouvez-vous me rediriger sur un pdf ou ceci est expliqué plus en détail?

[minushabens]

Oublie le produit infini alors. Ca sert quand on veut parler de convergence d'un estimateur ou étudier ses propriétés asymptotiques. Si n est fixé, un n-échantillon est une variable aléatoire X=(X1,..,Xn) a valeurs dans un espace produit (E^n,B^n) et dont la loi (inconnue sinon c'est pas des stats) est le produit de n fois la même loi inconnue P, à prendre dans un certain ensemble défini une fois pour toutes (par exemple les lois normales de paramètres appartenant à un certain ensemble).

[A voir en vidéo sur Futura]

[zaskzask]

Mais pour moi les X_i devraient être les mêmes car si on mesure un procédé exactement en même temps, au même endroit, dans les mêmes conditions (c'est à dire pour un même on doit avoir la même valeur pour quelle que soit X_i

[gg0]

Bonsoir Zaskzask.

"si on mesure un procédé exactement en même temps, au même endroit, dans les mêmes conditions" on a un seul résultat. Si on a un échantillon c'est qu'on a mesuré le même procédé dans des conditions différentes, ne serait-ce qu'à des moments différents.

Il faut être raisonnable !

Un exemple simple : Pour tester l'équiprobabilité des valeurs prises par un dé, on va le jeter n fois. On obtiendra un échantillon de n valeurs prises par le dé. Bien évidemment, 2 valeurs successives ne sont pas obtenues dans le même lancer du dé : Un lancer donne une valeur, pas 2.

Ensuite, il revient au même de considérer que l'on a n réalisations d'un lancer de dé théorique, ou de définir et utiliser les n variables aléatoires "résultat du i-ième lancer du dé" (i allant de 1 à n) comme ayant indépendamment la même loi que le lancer d'un dé. On dit qu'on a un tirage iid (idépendant et identiquement distribué). Comme c'est plus pratique d'utiliser les n variables aléatoires, on ne s'en privera pas.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Mais pour moi les X_i devraient être les mêmes car si on mesure un procédé exactement en même temps, au même endroit, dans les mêmes conditions (c'est à dire pour un même on doit avoir la même valeur pour quelle que soit X_i

Je comprends le malaise de Zask. Il résulte, à mon avis, du fait que dans de trop nombreuses discussions, exercices et même cours, on amalgame la notion de "proportions d'un élément dans un ensemble" à celle de "probabilité d'un évènement".
J'ai trouvé une petite méthode pour comprendre la différence.
On tire à pile ou face, on sait que la probabilité de tirer pile est égale à celle de tirer face, donc p=1/2.
Maintenant on tire un grand nombre de fois et on note les résultats au fur et à mesure.
On attribue à pile le chiffre 0 et à face le chiffre 1, et on groupe les 4 chiffres pour former un nombre binaire.
Question : quelle est la probabilité de faire 0000, 0001, 0010, etc. ?

[zaskzask]

Donc avec le dé :
donc si je considère un élèment de cet ensemble à n composantes on a (si X_i est le résultat du i-ème lancé de dé) et donc les variables sont distinctes car en général. C'est comme ça que ça marche les variables aléatoires en statistiques?

[gg0]

Les variables aléatoires en statistiques sont les variables aléatoires en probas. pas de différence.

Pour le reste, je ne comprends pas trop ce que tu dis. Si Xi est le résultat du i_ième lancer et Xj celui du j-ième, par nature ce sont des variables aléatoires différentes si i et j sont distincts. Il n'y a aucune raison pour que le résultat du i-ième lancer soit toujours celui du j-ième. Donc c'est ; et pas en général : dès que i est différent de j.

Cordialement.