Modèle statistique régulier - statistique exhaustive

[invitee75a2d43]

Bonjour,

comme souvent, je lis une définition ou un théorème que je crois comprendre, mais quand il s´agit de mettre la chose en pratique dans un exo, je ne sais pas par où m´y prendre. Dans ce cas précis, il s´agit de la chose suivante:

On considère la loi uniforme sur de densité

On me demande si ce modèle est régulier. Non seulement je ne sais pas répondre á cette question, mais j´imagine que la réponse aura des conséquences sur le reste de l´exo.

Ensuite on me demande de trouver une statistique exhaustive, et là j´ai le même problème: il faudrait que j´utilise le théorème de factorisation, mais sur une loi uniforme, je vois pas trop.

Bon, si quelqu´un a une idée, merci d´avance

Christophe
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[invitee75a2d43]

Je crois avoir lu quelquepart que pour prouver qu´un modèle est régulier, il suffit de pouvoir calculer l´Information de Fisher. Mais est-ce que c´est suffisant comme preuve?

[invitee75a2d43]

À propos de la régularité, je viens de trouver sur le net l´exo suivant avec corrigé:

Les X_i suivent la loi , on a donc:



On demande si le modèle est régulier.

Dans le corrigé, ils ne vérifient pas toutes les "conditions usuelles", ils vérifient:

- que le support ne dépend pas de
- que est deux fois dérivable en de dérivées continues:

- la dernière condition serait que l´intégrale de f sur tout borélien soit deux fois dérivable et qu´on puisse permuter intégration et dérivation, mais ceci, ils ne le font pas, ils font la chose suivante:

- ils vérifient que l´intégrale sur IR de la première dérivée est nulle. Elle est donc effectivement égale à la dérivée de l´intégrale sur IR de f puisque cette intégrale est 1, f étant une densité.

- ensuite ils calculent l´Information de Fisher et constatent qu´elle est finie.

Donc au lieu de vérifier que la dernière condition usuelle est vérifiée sur tout borélien, ils vérifient sur le borélien IR et ensuite ils s´assurent que l´Information de Fisher est une grandeur finie.

Je n´ai rien trouvé dans aucun cours qui justifie cette méthode. Est-ce que quelqu´un la connait?

Merci d´avance

Christophe

[invitee75a2d43]

On considère la loi uniforme sur de densité

On me demande si ce modèle est régulier.

Bon veuillez excuser la trivialité de cette question, évidement que le modèle n´est pas régulier car la première condition est que le support de la densité soit indépendant de theta.

Mais cela n´empêche pas que je trouve difficile de prouver qu´un modèle est régulier ou pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

un modèle statistique régulier c'est :
* un modèle dominé (de façon à avoir des densités)
* homogène, ce qui signifie que les densités par rapport à la mesure dominante sont strictement positives (de façon à ce qu'on puisse calculer un log-vraisemblance)
* tel que le paramètre inconnu appartienne à un ouvert et que la densité soit différentiable dans cet ouvert (de façon à ce que la maximisation de la vraisemblance se traduise par la nullité de sa dérivée, et donc qu'on puisse écrire les fameuses "équations de vraisemblance")
* et tel que la matrice d'information existe et soit inversible (de façon à ce que les estimateurs du maximum de vraisemblance aient une variance finie).

dans ton problème, le modèle est bien dominé (par la mesure de Lebesgue) mais pas homogène, puisque les densités s'annulent en dehors d'un intervalle. Remarque que si l'intervalle en question était le même pour toutes les densités, il n'y aurait pas de problème, il suffirait de prendre pour mesure dominante la restriction de la mesure de Lebesgue à cet intervalle.

[invitee75a2d43]

Super, merci Ambrosio, si ça avait été expliqué comme ça dans mon cours, j´aurais tout de suite pigé. En fait la motivation de définir cette notion de régularité, c´est de pouvoir définir un EMV en dérivant la log-vraisemblance.

[invitee94bf156]

f(x)= a*x^(a-1) *exp(-x^a)

Comment peux je montre que c'est regulier ?

merci


et de plus si

a'= m/(1/n * somme (log Xi) avec i =1.....n)

Comment peux je montre que l'estimateur est sans biais.

Cdt,

pipy