Complexe

[invitec34ca12d]

SALUT à tous je suis bloqué dans cette exercice qlq peut me donner une indication
Soit B une partie bornée non vide de C.
On suppose que si z £ B alors 1 − z + z² £ B et 1 + z + z² £ B.
Déterminer B.
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Je vous donne des indications.

1) Montrer que votre hypothèse vaut aussi pour l'adhérence de B. On peut donc supposer B fermé, donc compact puisque borné.

2) Soit M la borne supérieure des |z^2+1| pour z dans B. Comme B est compact, M est atteinte: M=|u^2+1| pour un u dans B. On suppose M>0, on va montrer contradiction.

3) e est égal à 1 ou -1. Calculez (u^2+2eu+1)^2+1 en faisant apparaitre (u^2+1). Par la propriété de maximalité de u (et le fait que M>0), en déduire que |u^2+2eu+2| <=1.

4) En faisant la somme et la différence de u^2-2u+2 et u^2+2u+2, majorer |u^2+2| et |u|, en déduire une contradiction( minorer (|u^2+2|).

5) Donc M=0. Je vous laisse conclure.

Cordialement.

[invitef3414c56]

Correction:

Dans 3) C'est calculer (u^2+eu+1)^2+1 qu'il faut lire.

Cordialement.

[invitec34ca12d]

merci comme même

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec34ca12d]

pourquoi |z^2+1| et pas |z+z^2+1| pour la borne supérieure?