espace vectoriel

[invited47ef0db]

Bonjour à toutes et à tous,

Etant en iut GMP j'ai un problème de maths qui est le suivant:
"Déterminer une base et la dimension de la somme direct et de l'intersection des sous espaces espace vectoriels de R^4 engendrés respectivement par les vecteurs: V1=(1;2;1;0) V2=(-1;1;1;1)
et V3=(2;-1;0;1) V4=(1;-1;3;7) "
Alors j'ai quand même quelques pistes mais il me reste quelques petites questions, en effet c'est le "déterminer" qui me trouble, parce que je sais vérifier si des vecteurs forment une base, mais pas la "déterminer".

Et c'est la que j'ai besoin de votre aide en effet je ne sais pas comment déterminer la dimension la somme direct et la dimension de l'intersection.

Donc si vous pouviez m'aider à comprendre tous ça je vous en serais reconnaissant

Merci d'avance

Jules
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[Resartus]

Savez-vous comment vérifier si les quatre vecteurs sont linéairement indépendants (que la famille est libre) ? Si oui, vous avez constaté que ce n'est pas le cas.
Donc, cela veut dire qu'un quelconque des vecteurs (par exemple le 4ème) peut être exprimé comme combinaison linéaire des autres et est inutile.
On revérifie si la famille des trois premiers est libre et là cela marche. Donc ces 3 vecteurs constituent une base (aussi bonne qu'une autre) pour le sous-espace engendré par les quatre vecteurs...
Pour l'intersection, c'est beaucoup plus simple, puisque ces vecteurs ne sont pas colinéaires...

[invited47ef0db]

Tout d'abord merci de votre réponse !
Oui je sais déterminer si une base est libre.
Mais en fait le prof nous a expliqué que le V1 et le v2 constituent un sous espace vectoriel et que le V3 et le V4 en constituent un autre mais la méthode doit être la même il faut vérifier que V1 et V2 est une famille libre et génératrice et même chose pour V3 et V4 c'est bien ça ?
Ce que je ne comprends c'est que je sais comment déterminer la dimension d'un sous espace vectoriel mais je ne sais pas faire la différence entre la dimension de la somme direct et la dimension de l'intersection ?
Merci d'avance pour vos futurs réponses

Jules

[Resartus]

Non, cela ne marche pas comme cela,
V1 et V2 peuvent être libres, de même que V3 et V4, mais V1, V2, V3 peuvent être liés, ou bien V1,V2,V3 sont libres, de même que V1,V2, V4, mais V1,V2,V3,V4 sont quand même liés
Quelles sont les méthodes qu'on vous a enseigné pour vérifier si une famille de vecteurs est libre ou pas? Savez-vous calculer un déterminant? Ou bien est-ce en essayant de résoudre un système d'équations?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited47ef0db]

Bonjour Resartus merci à nouveau de votre réponse,

Enfaite je crois que j'ai oublié un détail dans l'énoncé, en effet dans l'énoncé il est dit que que V1 et V2 engendre un sous espace vectoriel et que V3 et V4 un autre, donc si je comprends bien il faut que je détermine la base de chaque sous espace, donc pour ça il faut que je vérifie si les vecteurs constituant le sous espace constituent une famille libre et génératrice c'est bien ça ?
Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi ilfaut vérifier que V1, V2, V3 et V4 sont libre entre eux alors que ces vecteurs ne font pas partis du même sous espace ?
Sinon en effet la méthode que l'on utilise est bien celle de l'équation.

Merci d'avance.

Jules

[Resartus]

En vérifiant que V1 et V2 sont indépendants, puis que V3 et V4 sont indépendants, vous avez juste montré que V12 et V2 engendrent un sous espace de dimension 2, et V3 et V4 également, mais vous n'avez pas du tout démontré que ces deux sous espaces sont différents. Même s'ils sont différents, ils peuvent très bien avoir des vecteurs non nuls communs, et dans ce cas la famille n'est pas libre.
Un exemple :
V1 : 1,0,0
V2, 0, 1,0 sont deux vecteurs indépendants

V3 :1, 1,1
V4 : 0, 0, 1 sont deux vecteurs indépendants

Et pourtant V3=V1+V2+V4 : Tous les vecteurs colinéaires à V1+V2=V3-V4 appartiennent à la fois au premier sous espace et au second...et la famille V1,V2,V3,V4 n'est pas libre

[invited47ef0db]

Merci beaucoup de votre réponse j'ai enfin compris
Sinon je ne sais pas faire la différence entre la dimension de la somme directe et la dimension de l'intersection, quel est la différence ?
Merci d'avance!!

[Resartus]

Somme directe, ce sont les vecteurs qu'on peut obtenir comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Donc comme on l'a vu, dimension 3
(et pas 4, puisque V1,V2,V3 sont une base, mais V1,V2,V3,V4 n'en est pas une)
L'intersection, ce sont les vecteurs qui appartiennent à la fois à tous les sous-espaces vectoriels engendrés respectivement par V1, par V2, par V3, par V4. Puisque V1 et V2 sont indépendants, il n'y a que le vecteur nul....

NB : la question serait différente si on parlait de l'intersection du sous-espace engendré par V1 et V2, avec celui engendré par V3,V4.
(ce dont vous avez parlé ensuite). Là, vous allez vous apercevoir qu'on peut trouver (comme dans mon exemple simplifié) un vecteur non nul qui appartient à la fois aux deux sous espaces. Et donc cette intersection dans ce cas sera de dimension 1 (tous les vecteurs colinéaires à ce vecteur).

Vous voyez qu'il est important de faire bien attention à la famille de vecteurs qu'on analyse. Il faut l'analyser en tant que telle, et on ne peut pas conclure globalement, à partir seulement des résultats obtenus sur une partie de la famille

[invited47ef0db]

Merci de votre réponse je comprends vraiment mieux la façon de raisonner, surtout quand c'est la première fois de ma scolarité que je fais les espaces vectoriels.

Sinon pour la dimension de l'intersection j'ai cherché x,y,a,b tel que:

x*V1+y*V2=a*V3+b*V4
Et j'ai trouvé a=3x, b=-x, y=-4x
Mais je ne réussi pas à en déduire la valeur de la dimension je pense que la dimension est de 3 mais ce n'est qu'une hypothèse ^^
Quelle conclusion tirer de ce résultat ?

Merci d'avance

Jules

[Curuxa]

Bonjour,

Impossible que la dimension soit 3: on intersecte des espaces de dimension 2! La dimension de l'intersection est donc <= 2... Connais-tu le théorème de Grassman : Dim(A+B)=Dim(A) +Dim(B)-Dim(A inter B) ? Ici il est utile.

Sinon, juste pour être précis avec les mots: quand on parle de somme directe, normalement, l'intersection doit être réduite à l'origine sinon c'est juste une somme d'espace vectoriel

[invited47ef0db]

Bonsoir Curuxa tout d'abord merci de ta réponse en effet je viens de voir que le théorème de Grassman est dans mon cours ^^
Du coup dans mon cas ça me fait une dimension 1 ce qui me parait tout à fait plausible !
Encore merci !

[Curuxa]

Avec plaisir.

Pour ta méthode, elle est correcte: tu peut déduire qu'un vecteur de l'intersection est de la forme (5x,-2x,-3x,-4x) (je n'ai pas refait les calculs) donc avec x pour seul paramètre tu n'engendres qu'un espace de dimension 1.