Construire un polytope en fonction de ses projections

[invitea47ed71f]

Bonjour,
Je suis en face d'un pb, qui est (presque, je simplifie) le suivant:

J'ai un polytope P, c'est à dire l’enveloppe convexe d'un nombre fini de points de Rⁿ.
J'ai envie de le caractériser par hyperplans, ie trouver tous les vecteurs normaux de toutes les facettes: c'est algorithmiquement faisable, mais long...

J'ai peut etre une manière d'aller plus vite (là est ma question):
J'ai une décomposition orthogonale Rⁿ=V₁+V₂
P se projette en P₁ et P₂ sur celle-ci.
Mettons que je connaisse la description par vecteurs normaux de P₁ et de P₂. Est ce que ça m'aide pour remonter à celle de P?

J'ai l'impression que le risque est que la projection "cache" plein de facettes...


J'espère avoir été clair... Je peux bien sur préciser!

Merci
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[invitea47ed71f]

Bon pas de réponse, mais c'est peut-etre plus une question d'info... Je vais essayer de poser ma question de ce coté.

[gg0]

Bonjour.

Je n'avais pas répondu, pensant que de plus habiles le feraient. Avant d'essayer de traiter le cas général, regarde ce qui se passe pour n=2 : Tu as un ensemble de sommets d'un polygone convexe. Tu projettes sur deux droites perpendiculaires. Si tu considères les projections des facettes, des côtés du polygone, qu'appelles-tu "vecteur normal dans le projeté" ? Si c'est un vecteur unitaire perpendiculaire (dans le plan) à la projection du côté, tous tes vecteurs normaux sur une des droite sont égaux.
Vu autrement, tu projettes une arête sur les deux droites; en général, ça donne un segment sur chaque droite, et tu ne peux retrouver la direction du segment initial (donc de sa normale) qu'en tenant compte des longueurs relatives des projetés (et en conservant bien les liens entre projetés d'un même point). Au passage, si tes facettes sont orientées (extérieur/intérieur), cette orientation est perdue.
Tu peux aussi regarder en dimension 3, en projetant sur un plan et une droite perpendiculaire au plan si tu peux remonter des projections (une face et un segment) aux normales aux facettes.

Il est possible que ce soit déjà traité (au moins en dimension 3) dans les classiques de la programmation, chez Knuth, par exemple.

Cordialement.