construire une bijection de la reciproque de la fonction cosinus

[invite6ed3dbc2]

Bonjour,

je voulais savoir s'il était possible de construire une réciproque bijective de la fonction cos ?

Je m'explique : Il s'agit en fait de traitement du signal mais c'est des maths...

Je dispose sur un oscilloscope de la fonction C(x(t)). Je sais que :

C(x(t))=cos(x(t)/a)

et que x(t)=somme(cos(omega_i.t))
[i appartient à N et on suppose que la somme est finie]

Et je voudrais retrouver x(t) à partir du tracé de C(x(t)).

si x(t)<a --> pas trop de pb
si x(t)>a --> impossible de reconstruire la fonction.

Une idée ???

Merci
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[invitea83062ce]

Pour qu'il y ai une réciproque il faut que la fonction soit bijective et ce n'est le cas que si -Pi/2<x(t)/a<Pi/2
et la fonction réciproque est alors, arccos

Cependant si ton x(t) est strictement croissant je me demande si on peut pas se ramener à cette intervalle moyennant une petite translation.

[invite6ed3dbc2]

x(t) n'est pas strictement croissant (autrement ce serait trop facile --> avec une translation, ca marche)

Ma question est à mi chemin entre les maths et le tt du signal....avec des fft, des multiplications,...peut etre est il possible de faire qqch....mais je ne suis pas assez calé dans ce domaine

une autre idée ??

merci

[invite6ed3dbc2]

ah oui....x(t) est une somme de cosinus/sinus

x(t)=sigma(A_i.cos(omega_it)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Ton signal est un cosinus d'une somme de cosinus ?

[invite6ed3dbc2]

la fonction que je peux observer est un cosinus d'une somme de cosinus.

La fonction que je veux isoler est la somme de cosinus.

Pas évident....

[ericcc]

Une suggestion, mais je n'y connais pas grand chose :

Tu as une fonction du type cos(x(t)), si tu la dérives elle devient -x'(t)sin(x(t)); tu peux récupérer l'amplitude de ce signal qui te donne x'(t); comme c'est une superposition de cosinus, tu dois pouvoir isoler chacune des fréquences.
Pour dériver un signal c'est facile avec la transformée de FOurier

[Scorp]

Le problème de cette solution, c'est que dérivée un signal va générer une amplification des bruits parasites. La ré-intégration de x'(t) pourra alors donner des choses bizards, non ?

Vu qu'en gros, ta méthode consiste à faire , ou alors utiliser une transformée de Fourier à la place de l'intégrale pour récupérer les composantes, j'ai peur que, même si ca marche en théorie, ca ne soit pas si joli en pratique.

[Scorp]

Du point de vue mathématiques, tu peux peut être aller chercher du coté des fonctions de Bessel vu qu'on a :
ou un truc du genre ^^

mais dans ton cas, on risque de partir sur des trucs très compliqués.
Essaye de voir la méthode de ericcc si jamais ca donne un truc pas trop moche

[invite6ed3dbc2]

En fait le gros probleme que j'ai, c'est un phénomène de multiplication des fréquences :

comme x(t) > a, dès que je fait une transfo de fourrier, j'ai des fréquences à n*f0 qui apparaissent....

[Scorp]

En fait le gros probleme que j'ai, c'est un phénomène de multiplication des fréquences :

comme x(t) > a, dès que je fait une transfo de fourrier, j'ai des fréquences à n*f0 qui apparaissent....

Pourquoi est-ce un problème ? Ca me parait assez logique même.
regarde par exemple la formule au dessus (mon dernier poste). Elle donne le développement en série de fourier de cos(a.cos(wt)) qui est donc un cas particulier de ton problème.

Et bien on voit qu'on a aussi des multiplications de fréquence : on aura des raies spectrales tous les .

As-tu essayé la méthode par dérivation de ericcc, ca peut peut être marcher (si ton signal n'est pas trop bruité en tout cas)

[invite6ed3dbc2]

As-tu essayé la méthode par dérivation de ericcc, ca peut peut être marcher (si ton signal n'est pas trop bruité en tout cas)

Je ne vois pas comment extraire x' de x'*sin(omega*t)....

[invite6ed3dbc2]

+ il n'y a pas un théorème qui dit qu'il y a unicité de la décomposition en série de fourrier :

difficile de retrouver x(t) si j'ai des raies spectrales en plus ???

[Scorp]

+ il n'y a pas un théorème qui dit qu'il y a unicité de la décomposition en série de fourrier :

difficile de retrouver x(t) si j'ai des raies spectrales en plus ???

Si bien sûr il y a unicité, mais je ne vois pas le problème. Dans le cas simplifié que j'ai donné (c'est vrai qu'avec une somme ca devient très vite compliqué), le spectre de ta fonction cos(a.cos(wt)) n'est composé QUE de raies spectrales. Pour retrouver ton x(t) qui dans ce cas vaudrait x(t)=a.cos(wt), il ne te suffit que de retrouver la pulsation du fondamentale (qui te donnera alors le w) et identifier le coefficient a dans le spectre (par exemple grace à la composant du continu qui vaut Jo(a) : en regardant l'amplitude de la raie continue, tu pourras donc remonter au coef a. Ainsi, tu pourras reconstruitre ton x(t)=a.cos(wt)).

Cette aproche ce base sur le base que mathématiquement tu as un résultat (et donc tu sais où chercher : par exemple tu sais que théoriquement, la raie continue sera d'amplitude Jo(a)). Il ne fera pas apparaitre explicitement x(t), mais te permettra de le reconstituer (cf. ce que j'ai fait au dessus). L'inconvéniant, c'est que ca devient vite compliqué.

L'autre méthode proposée par ericcc te donnera directement x(t), mais au prix de bruits dans les mesures, et en trouvant comment réaliser correctement les opérations (dérivée, c'est bien en théorie, c'est plus difficile en pratique : soit on a du bruit, en analogique on n'a pas de dérivateur parfait etc...)

[Scorp]

Je ne vois pas comment extraire x' de x'*sin(omega*t)....

Mais je suis d'accord avec toi, prendre l'amplitude se fait bien sur le papier comme le fait ericcc, beaucoup moins en pratique.