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Réciproque de la fonction cosinus



  1. #1
    Bleyblue

    Réciproque de la fonction cosinus


    ------

    Bonjour,

    En partant de :





    j'essaie d'exprimer x en fonction de y en posant et je tombe sur :



    mais ici comment dois-je faire pour savoir si je dois prendre + ou - la racine ?
    J'ai vérifié avec ma calculatrice (après avoir isolé x et comparé la valeurs de l'expression x(a) et celle obtenue en tapant arrcos(a)) et visiblement il s'agit de + mais je ne comprends pas pourquoi.

    Avez-vous une idée ?

    merci

    -----

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  3. #2
    rvz

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Bonjour,

    Une petite indication : y est plus petit que 1, donc quand tu parles de la racine de y^2-1, tu choisis une des deux racines possibles, dison que tu écris +/- i racine(1-y^2). Ensuite, tu t'apercevras que cos n'est pas injective sur un voisinage de 0. Donc, on pose par définition, arcos comme étant l'angle de [0,pi] dont le cosinus vaut y. Pour ces angles, la partie imaginaire de exp(i x) est positive. D'où ce que te donne ta calculatrice.

    __
    rvz

  4. #3
    martini_bird

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Salut,

    ce serait pas plutôt sous la racine ? Car sinon, c'est pas très joli avec ...

    Cordialement.

    PS : la commande \pm permet d'afficher .
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    ce serait pas plutôt sous la racine ? Car sinon, c'est pas très joli avec ...
    Non c'est bien y² - 1 et on obtiens donc un complexe, ce qui est préférable sinon la valeur x = -i.ln|y + (1 + y²)^1/2| n'est pas réelle


    Citation Envoyé par martini
    PS : la commande \pm permet d'afficher .
    Terrible, merci

    J'essaie de comprende tes indications rvz

    merci !

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Citation Envoyé par rvz
    Pour ces angles, la partie imaginaire de exp(i x) est positive
    Ah ben oui, ça explique tout.

    merci !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ericcc

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    J'ai l'impression que tu redémontres la célèbre formule
    e^ix = cos(x) + i sin (x) , en partant de ta première égalité, qui vient elle même de cette formule. Bref tu ne tournes pas en rond ?

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Non je voulais montrer que :



    ce qui est maintenant chose faite

  11. #8
    martini_bird

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Non c'est bien y² - 1 et on obtiens donc un complexe, ce qui est préférable sinon la valeur x = -i.ln|y + (1 + y²)^1/2| n'est pas réelle
    Oki, au temps pour moi !
    (même si aurait été plus joli. )
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Citation Envoyé par martini_bird
    (même si aurait été plus joli. )
    Oui j'ai rectifié dans mon dernier message

  13. #10
    ericcc

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Non je voulais montrer que :



    ce qui est maintenant chose faite
    Attention cependant à la définition du logarithme complexe !

  14. #11
    rvz

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Je peux faire être tatillon ?
    Pour l'écrire sous la forme d'un logarithme, tu as besoin de faire preuve d'un acte de foi demesuré. Je m'explique : Le logarithme complexe n'est défini que sur la boule B(1,1). Or il se trouve que les points x + i racine(1-x^2) sont sur la sphère de centre 0 et de rayon 1. Alors je me lance, et je pose la question qui fache : As tu prouvé auparavant que le logarithme admettait un prolongement analytique sur un voisinage des points du cercle unité ayant une partie imaginaire positive ? (et puis est ce vrai d'abord ?)

    __
    rvz, tatillon

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Citation Envoyé par ericc
    Attention cependant à la définition du logarithme complexe !
    Oui, il va faloir que j'aille revoir comment manipuler ça sans faire de bêtise

    merci
    EDIT : croisement avec rvz

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Citation Envoyé par rvz
    Je peux faire être tatillon ?
    Le logarithme complexe n'est défini que sur la boule B(1,1). Or il se trouve que les points x + i racine(1-x^2) sont sur la sphère de centre 0 et de rayon 1. Alors je me lance, et je pose la question qui fache : As tu prouvé auparavant que le logarithme admettait un prolongement analytique sur un voisinage des points du cercle unité ayant une partie imaginaire positive ? (et puis est ce vrai d'abord ?)
    ouille ouille ... est-ce important comme détail ? Parceque je ne comprend pas bien ce qui ne va pas en fait ... il faudrait déja que j'aille revoir mes notes sur le logarithme complexe, je me suis lancé la dedans sur un coup de tête comme ça

    merci

  18. #14
    rvz

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Oh, tu sais, les détails, c'est ce qui sépare les physiciens des matheux
    Ici, ce détail n'est rien d'autre que de savoir si ce que tu as écrit a un sens. C'est plutot important, non ?

    __
    rvz

  19. #15
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Oui bien sûr

    Mais je vais aller revoir mes logartithmes complexes ( forcément je n'utilise jamais ça alors j'oublie) avant de m'attaquer à la chose de manière plus rigoureuse je pense

    merci !

    EDIT : Je vais peut-être continuer avec mes coniques avant ça, parceque à la base j'étais occupé avec des coniques et j'ai dérivé (je ne sais plus comment) sur ce suet
    Dernière modification par Bleyblue ; 18/07/2006 à 23h48.

  20. #16
    rvz

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Tiens, juste pour te rassurer, ça marche bien avec les fonctions trigonométriques hyperboliques, et, dans ce cas on n'a pas à se demander si les log sont bien définis.
    Après, tu peux dire que, au moins formellement sinh(ix) = i sin(x) et en déduire ton résultat sur R. Evidemment, en fait quand tu te places sur C, c'est vrai aussi, donc ta formule est vraie quand le log a un sens.

    __
    rvz

  21. #17
    Bleyblue

    Re : Réciproque de la fonction cosinus

    Citation Envoyé par rvz
    Tiens, juste pour te rassurer, ça marche bien avec les fonctions trigonométriques hyperboliques, et, dans ce cas on n'a pas à se demander si les log sont bien définis.
    __
    rvz
    Je le sais bien c'est pour ça que je me suis dit, tiens, je peux essayer avec les fonctions trigonométriques maintenant que c'est fait avec les hyperboliques.

    Citation Envoyé par rvz
    Après, tu peux dire que, au moins formellement sinh(ix) = i sin(x)
    Ah tiens c'est chouette ça je n'avais pas remarqué.

    Ok, merci bien

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