Réciproque de la fonction cosinus

[Bleyblue]

Bonjour,

En partant de :





j'essaie d'exprimer x en fonction de y en posant et je tombe sur :



mais ici comment dois-je faire pour savoir si je dois prendre + ou - la racine ?
J'ai vérifié avec ma calculatrice (après avoir isolé x et comparé la valeurs de l'expression x(a) et celle obtenue en tapant arrcos(a)) et visiblement il s'agit de + mais je ne comprends pas pourquoi.

Avez-vous une idée ?

merci
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Une petite indication : y est plus petit que 1, donc quand tu parles de la racine de y^2-1, tu choisis une des deux racines possibles, dison que tu écris +/- i racine(1-y^2). Ensuite, tu t'apercevras que cos n'est pas injective sur un voisinage de 0. Donc, on pose par définition, arcos comme étant l'angle de [0,pi] dont le cosinus vaut y. Pour ces angles, la partie imaginaire de exp(i x) est positive. D'où ce que te donne ta calculatrice.

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rvz

[martini_bird]

Salut,

ce serait pas plutôt sous la racine ? Car sinon, c'est pas très joli avec ...

Cordialement.

PS : la commande \pm permet d'afficher .

[Bleyblue]

Salut,

ce serait pas plutôt sous la racine ? Car sinon, c'est pas très joli avec ...

Non c'est bien y² - 1 et on obtiens donc un complexe, ce qui est préférable sinon la valeur x = -i.ln|y + (1 + y²)^1/2| n'est pas réelle

PS : la commande \pm permet d'afficher .

Terrible, merci

J'essaie de comprende tes indications rvz

merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Pour ces angles, la partie imaginaire de exp(i x) est positive

Ah ben oui, ça explique tout.

merci !

[ericcc]

J'ai l'impression que tu redémontres la célèbre formule
e^ix = cos(x) + i sin (x) , en partant de ta première égalité, qui vient elle même de cette formule. Bref tu ne tournes pas en rond ?

[Bleyblue]

Non je voulais montrer que :



ce qui est maintenant chose faite

[martini_bird]

Non c'est bien y² - 1 et on obtiens donc un complexe, ce qui est préférable sinon la valeur x = -i.ln|y + (1 + y²)^1/2| n'est pas réelle

Oki, au temps pour moi !
(même si aurait été plus joli. )

[Bleyblue]

(même si aurait été plus joli. )

Oui j'ai rectifié dans mon dernier message

[ericcc]

Non je voulais montrer que :



ce qui est maintenant chose faite

Attention cependant à la définition du logarithme complexe !

[invite6b1e2c2e]

Je peux faire être tatillon ?
Pour l'écrire sous la forme d'un logarithme, tu as besoin de faire preuve d'un acte de foi demesuré. Je m'explique : Le logarithme complexe n'est défini que sur la boule B(1,1). Or il se trouve que les points x + i racine(1-x^2) sont sur la sphère de centre 0 et de rayon 1. Alors je me lance, et je pose la question qui fache : As tu prouvé auparavant que le logarithme admettait un prolongement analytique sur un voisinage des points du cercle unité ayant une partie imaginaire positive ? (et puis est ce vrai d'abord ?)

__
rvz, tatillon

[Bleyblue]

Attention cependant à la définition du logarithme complexe !

Oui, il va faloir que j'aille revoir comment manipuler ça sans faire de bêtise

merci
EDIT : croisement avec rvz

[Bleyblue]

Je peux faire être tatillon ?
Le logarithme complexe n'est défini que sur la boule B(1,1). Or il se trouve que les points x + i racine(1-x^2) sont sur la sphère de centre 0 et de rayon 1. Alors je me lance, et je pose la question qui fache : As tu prouvé auparavant que le logarithme admettait un prolongement analytique sur un voisinage des points du cercle unité ayant une partie imaginaire positive ? (et puis est ce vrai d'abord ?)

ouille ouille ... est-ce important comme détail ? Parceque je ne comprend pas bien ce qui ne va pas en fait ... il faudrait déja que j'aille revoir mes notes sur le logarithme complexe, je me suis lancé la dedans sur un coup de tête comme ça

merci

[invite6b1e2c2e]

Oh, tu sais, les détails, c'est ce qui sépare les physiciens des matheux
Ici, ce détail n'est rien d'autre que de savoir si ce que tu as écrit a un sens. C'est plutot important, non ?

__
rvz

[Bleyblue]

Oui bien sûr

Mais je vais aller revoir mes logartithmes complexes ( forcément je n'utilise jamais ça alors j'oublie) avant de m'attaquer à la chose de manière plus rigoureuse je pense

merci !

EDIT : Je vais peut-être continuer avec mes coniques avant ça, parceque à la base j'étais occupé avec des coniques et j'ai dérivé (je ne sais plus comment) sur ce suet

[invite6b1e2c2e]

Tiens, juste pour te rassurer, ça marche bien avec les fonctions trigonométriques hyperboliques, et, dans ce cas on n'a pas à se demander si les log sont bien définis.
Après, tu peux dire que, au moins formellement sinh(ix) = i sin(x) et en déduire ton résultat sur R. Evidemment, en fait quand tu te places sur C, c'est vrai aussi, donc ta formule est vraie quand le log a un sens.

__
rvz

[Bleyblue]

Tiens, juste pour te rassurer, ça marche bien avec les fonctions trigonométriques hyperboliques, et, dans ce cas on n'a pas à se demander si les log sont bien définis.
__
rvz

Je le sais bien c'est pour ça que je me suis dit, tiens, je peux essayer avec les fonctions trigonométriques maintenant que c'est fait avec les hyperboliques.

Après, tu peux dire que, au moins formellement sinh(ix) = i sin(x)

Ah tiens c'est chouette ça je n'avais pas remarqué.

Ok, merci bien