Paradoxe (?) de l'échelle

[Juzo]

Salut à tous, j'ai une question concernant une "expérience de pensée" qui débouche apparemment sur un paradoxe :

On imagine un singe sur une échelle verticale à un instant t₀. Le singe se trouve à t₀ à la hauteur H, et le seul est horizontal.

L'échelle se met alors à basculer, sa base restant fixée au même point du sol. Au fur et à mesure que l'échelle tombe, le singe grimpe les barreaux pour rester à la hauteur H. On peut supposer que la vitesse angulaire de l'échelle est constante, et on suppose que la longueur de l'échelle est infinie et que le singe peut avoir une vitesse aussi grande que l'on veut.


Voila le paradoxe : Si on considère t_final l'instant où l'échelle touche le sol et se retrouve horizontale, alors à t_final le singe se trouve nécessairement à la hauteur 0. Pourtant si on considère un intervalle dt aussi petit qu'on veut, à t - dt le singe se trouve toujours à la hauteur H.

Alors comment le singe passe-t-il instantanément de la hauteur H à la hauteur 0 ?

La réponse implique peut-être des notions de limite et d'infini, mais j'ai du mal à la formaliser ... Merci
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[Médiat]

Alors comment le singe passe-t-il instantanément de la hauteur H à la hauteur 0 ?

C'est plus compliqué que cela : vous dites que le singe se trouve, à la hauteur 0, mais où se trouve-t-il sur l'échelle à ce moment là ?

[gg0]

Bonjour Juzo.

Pas de paradoxe, seulement l'erreur consistant à considérer que la limite est un cas particulier de la situation générale.
Dans le même genre, prenons un réel x>0 et passons à la limite quand x tend vers 0. L'erreur consiste à dire que la limite est aussi strictement positive, d'où le "paradoxe" 0>0.

Cordialement.

[Juzo]

C'est plus compliqué que cela : vous dites que le singe se trouve, à la hauteur 0, mais où se trouve-t-il sur l'échelle à ce moment là ?

J'avais pensé à ça, ma réponse étant : partout sur l'échelle... mais à partir d'où.

Pas de paradoxe, seulement l'erreur consistant à considérer que la limite est un cas particulier de la situation générale.

Je suis bien d'accord en effet... Mon but avec ce paradoxe était de faire se télescoper la physique (même s'il y a des hypothèses bien peu physiques ici !) et les Maths. Comment formule-t-on qu'il est impossible de passer du cas général au cas limite ici ? Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef29758b5]

Salut
Il faut une échelle de longueur infinie .
Si tu en trouves une , tu pourras valider tes calculs .
Je dis bien "si" ...

En supposant , bien entendu que tu disposes d' un singe capable de parcourir une distance infinie en un temps fini .

[Médiat]

prenons un réel x>0 et passons à la limite quand x tend vers 0. L'erreur consiste à dire que la limite est aussi strictement positive, d'où le "paradoxe" 0>0.

Dans le même genre, et, malheureusement, utilisé comme argument démonstratif : http://forums.futura-sciences.com/ma...ombrables.html le point #5 (message #17 en particulier).

je précise à l'occasion des lecteurs de passage qu'il s'agit bien d'une erreur monstrueuse (voire, peut-être, d'une escroquerie dans ce cas précis).

[gg0]

Comment formule-t-on qu'il est impossible de passer du cas général au cas limite ici ?

Dans toutes les positions générales, l'échelle n'est pas parallèle au sol, ce qui permet de trouver un point à distance H du sol (et même à toute hauteur !!). le "cas limite" ne respecte plus cette condition, donc on change brutalement de situation, il y a discontinuité.

Tu peux renforcer la situation en faisant grimper le singe au fur et à mesure de façon qu'il soit infiniment loin du sol à la limite. En fait, ce genre de réflexion montre la fécondité de l'idée intuitive de "droite de l'infini" qu'on rencontre dans les présentations élémentaires de la géométrie projective.

Cordialement.

[invitef29758b5]

Si on considère t_final l'instant où l'échelle touche le sol et se retrouve horizontale, alors à t_final le singe se trouve nécessairement à la hauteur 0

C' est incompatible avec l' énoncé qui dit que H est constant et non nul , et que donc il ne tend pas vers 0 .
Il n' y a pas de paradoxe , mais plutôt un énoncé contradictoire .

[invite23cdddab]

Comment formule-t-on qu'il est impossible de passer du cas général au cas limite ici ?

Ici je ne sais pas (il faudrait poser proprement le problème d'un point de vue mathématique), mais la question "est il légitime de passer à la limite dans ce cas" est une question qui revient très souvent en analyse et les théorèmes qui traitent de ça sont légions.

[Juzo]

Pour dire autrement le paradoxe, l'échelle ne va pas s'arrêter au-dessus du sol quand même ?

Le blocage ne me paraissait pas être au niveau de la hauteur infinie de l'échelle, ni au niveau de la vitesse infinie du singe, c'est l'avantage d'une expérience de pensée Mais peut-être qu'on ne peut pas négliger ces aspects...

Moi ça me fait penser au paradoxe de Xénon C'est pour ça que je pense que c'est une histoire d'infini et de limite...

[gg0]

Il faut choisir, Juzo.

Soit c'est un problème physique, et il est impossible (le bout de l'échelle et le singe dépassent la vitesse de la lumière); soit c'est une problème de modèle, donc mathématique, et tu as eu ta réponse.

Cordialement.

[Juzo]

J'avoue que cette assiociation de la physique et des maths était maladroite et devenait intenable... On remarque juste que la relativité nous sauve d'un paradoxe, c'est un peu comme ça qu'Einstein l'a trouvée je crois.
On peut s'affranchir de l'aspect physique en imaginant une demi-droite qui pivote autour de son origine, et en disant qu'il y a toujours un point à la hauteur H. Ton explication semble évidente et me convient, même si j'ai du mal à visualiser le passage au cas limite. C'est pour ça que je te demandais de formaliser cette impossibilité.
Pour répondre à Dynamic et Tryss2, dans ce cas plus mathématique on se rend compte que ce n'est pas le même point qui passe de la hauteur H à la hauteur 0, il n'y a plus de contradiction dans l'énoncé il me semble.
Merci pour votre patience : )

[Médiat]

Cela n'a rien à voir avec la relativité ; si vous voulez mathématiser ce problème, il y aura sans doute à calculer une distance parcouru par le singe ou une vitesse (etc.) qui commencera par soit a l'angle entre l'échelle et le sol, si a est non nul, on calcule f(a) = ..., puis après par un tour de passe-passe (et non des mathématiques), on dit si je remplace a par 0 dans ma formule voilà ce que j'obtiens, sauf que justement pour 0 la fonction n'est plus valide !