Bonjour,
je dois rédiger un exercice sur des séries entières pour demain.
Je n'arrive pas à trouver le lien qui permet de transformer la multiplication de la somme de anx^n pour n allant de 0 à l'infini avec an = la somme de 1 pour n=2p+4q ? Comment dois je faire ?
J'ai un doute : la somme de x^(5n) pour n allant de 0 à n est bien égale à 1/1-(x^5)?
merci !
Ce n'est vrai que pour n tendant vers l'infini. Sinon cela vaut (1-x^5(n+1))/(1-x^5) (et il faut bien sur que x<1)
Je n'ai pas compris la phrase "transformer la multiplication de la somme de anx^n".
Faut-il comprendre "transformer en série multiplicative"?
Quel est l'énoncé exact de l'exercice? Sans le résumer ni l'interpréter...
u +5v = n
somme de anxn pour n allant de 0 à l'infini
il faut calculer la somme de anxn pour n allant de 0 à n.
On note an le nombre de couple u,v d'entiers naturels tels que u +5v = n
Vous avez dû rapidement constater que an augmente de 1 tous les 5.
Ensuite, une fois mis en facteur le terme 1+x+x^2+x^3+x^4 (cf la valeur plus haut) et changement de variable y=x^5
on se retrouve avec une expression du type somme (py^p)
l'astuce pour essayer de retrouver ce type de somme infinie est de se ramener à des DL connus :
on se rend compte que cette expression est le produit par y de la dérivée %y de somme (y^p) : cette somme vaut 1/(1-y), et sa dérivée vaut 1/(1-y)²
donc somme(p.y^p) ) vaut y/(1-y)²
Dernière modification par Resartus ; 05/02/2016 à 07h51.
A quoi correspond p ?
j'ai compris le fait qu'il faille mettre en facteur 1+x+x^2+x^3.... avec y^p. Sauf que, connaissant an, j'ai mis que c'était somme de 1 avec n=u+5v. J'ai ensuite remplacé an par sa valeur dns la somme anx^n. J'obtiens (somme de (somme 1 pour n=u+5v multiplié par x^n) pour n allant de n à l'infini. Je n'arrive pas à simplifier ...
Pour vous, à quoi équivaut An ?
Vous allez remplacer la somme sur n par une somme sur u et v , avec u qui varie de 0 à 4 et v de 0 à l'infini.
Dans ce cas an vaut v+1 et grâce au fait que x^n=x^u*(x^5)^v, la sommation double est égale au produit de deux sommations simples, l'une
de 0 à 4 de x^u, l'autre de 0 à l'infini de (v+1)*y^v, qu'on peut traiter comme je l'ai indiqué comme dérivée de y^(v+1)
mais u varie également de o à l'infini, non ?
je ne comprends pas pourquoi an vaut v+1...
Les u v indiqués ici ne sont pas ceux des couples possibles.
C'est juste une manière différente d'exprimer n comme somme de deux nombres entiers, ce qui permettra de faire des regroupements.
Si cela vous perturbe, appelons-les i, j : j est le quotient entier de n par 5 et i est le reste qui ne varie que de 0 à 4.
Pour ce qui est de An, quand on a du mal a voir quelle est la formule à trouver , il faut faire quelques essais :
n i j An
0 0 0 1 (un seul couple possible u=0, v=0)
1 1 0 1 'un seul couple possible u=1,v=0)
2 2 0 1
3 3 0 1
4 4 0 1
5 0 1 2 (2 couples possibles : u=0,v=1 et u=5,v=0)
..
9 4 1, 2 (couples 4,1 et 9, 0)
10 0 2 3 (3 couples possibles 0,3 5,2 et 10,0)
etc.
On voit bien que An vaut toujours j+1
Merci.
Si je comprends bien, on obtient somme de v+1*xn pour n allant de 0 à l'infini ?
somme de (v+1)*x^u*x^(5v) pour n allant de 0 à + l'infini ?
Comment obtenir la sommation double à la suite de ce qu'on a obtenu avant ?
ESt ce que vous avez une idée ?
Je vous ai déjà tout écrit. Sommer sur n de 0 à l'infini, c'est pareil que de faire une somme sur u allant de 0 à 4, et sur v allant de 0 à l'infini.
Si vous ne comprenez pas cela, je ne peux rien de plus pour vous. Demandez à un autre élève, il trouvera peut-être d'autres mots pour vous expliquer.
Merci, j'ai compris l'histoire de la double sommation.
Cependant la somme de (v+1)x^5v je ne comprends pas comment la simplifier..
Je viens de comprendre tout le cheminement ! Merci beaucoup !!
