Question calculatoire: formule analytique de la courbure.

[invitec3b608ea]

Bonjour à tous,

J'essaye de retrouver la formule qui permet le calcul explicite de la courbure d'une courbe paramétrée dans R^2 en un point donné. J'ai trouvé ce cours qui aux alentours de la pg 35/129 offre une démonstration.

Donc on a une courbe , on se sert d'un paramétrage naturel équivalent à ce premier paramétrage et on utilise un changement de paramètre u vérifiant et tel que (1)...

En fait je comprend bien la preuve mais une étape du calcul m'échappe, si on dérive le membre de gauche et de droite de (1), on tombe sur soit l'expression du vecteur tangent unitaire à la courbe gamma que l'on appelle T...si maintenant on dérive encore une fois on doit obtenir, par définition
où est l'unitaire normal à la courbe et la courbure...

Et donc ...Mais voilà, si ce résultat auquel j'aboutis est correct, alors la preuve proposée ne fonctionne pas...Or elle tombe plutôt bien donc elle doit être correcte et on devrait avoir

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Quelqu'un verrait-il mon erreur et d'où sort ce facteur ? Merci beaucoup aux lecteurs!
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[invitec3b608ea]

Il semble que ça vienne du fait que le paramétrage de gamma n'est pas nécessairement naturel...et que la courbure ne soit pas invariante par changement de paramétrisation...J'y vois pas encore clair mais j'ai fait mon calcul trop vite (en me disant qu'une courbure ne devait pas dépendre de la paramétrisation...).