Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

[invited8d2faee]

Bonjour à tous,

J'aimerais connaitre la forme générale d'une matrice ayant toute ses valeurs propres identiques.
Je me doute qu'une matrice identité multipliée par n'importe quelle scalaire respecte cela mais est-ce le seul cas?

Merci.
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[invited8d2faee]

Ma question est plus pointue que ça en réalité.

Si j'ai une matrice M = AxRxA^H
Ou chacune des matrice A et R est carrée de taille nxn.
Et ^H étant l'opération hermitienne (appliquée ici uniquement sur la matrice A à droite).

L'unique possibilité pour que les valeurs propres de M soient toutes égales est elle que M = lambda x In ?
In étant la matrice identité d'ordre n et lambda une constante.
Si oui pourquoi?

[Tryss2]

Prends M une matrice nilpotente : toutes ses valeurs propres sont nulles, mais il ne s'agit pas de la matrice nulle

[invited8d2faee]

Merci mais cela ne répond pas à ma question

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Ça répond à une de tes questions.

Sinon, tu prends n'importe quelle matrice triangulaire avec des lambda sur la diagonale. Et elle ne serra semblable à lambda*In que si elle est diagonalisable

[invited8d2faee]

Je demande la forme générale d'une matrice[...].
Donc me donner un exemple d'une matrice ne fonctionne pas.

[Tryss2]

Je te donne le moyen de toutes les obtenir (enfin, si il s'agit de matrices à coefficients dans C, je n'ai pas réfléchi au cas réel vu que tu parlais d'opération Hermitienne)...

Si tu préfères, M est de la forme , avec A triangulaire supérieure avec des sur la diagonale et P inversible

[leon1789]

Ça répond à une de tes questions.

Sinon, tu prends n'importe quelle matrice triangulaire avec des lambda sur la diagonale. Et elle ne serra semblable à lambda*In que si elle est diagonalisable

...que si elle est déjà diagonale.

[leon1789]

Sur C, j'aurais répondu comme Tryss2

Sur R, j'ai une question : est-ce qu'une matrice qui n'a pas de valeur propre est considérée comme ayant toutes ses valeurs égales ?

[Tryss2]

...que si elle est déjà diagonale.

Abawi, puisque ça commute