Matrice ayant toute ses valeurs propres égales
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Matrice ayant toute ses valeurs propres égales



  1. #1
    invited8d2faee

    Matrice ayant toute ses valeurs propres égales


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aimerais connaitre la forme générale d'une matrice ayant toute ses valeurs propres identiques.
    Je me doute qu'une matrice identité multipliée par n'importe quelle scalaire respecte cela mais est-ce le seul cas?

    Merci.

    -----

  2. #2
    invited8d2faee

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Ma question est plus pointue que ça en réalité.

    Si j'ai une matrice M = AxRxA^H
    Ou chacune des matrice A et R est carrée de taille nxn.
    Et ^H étant l'opération hermitienne (appliquée ici uniquement sur la matrice A à droite).

    L'unique possibilité pour que les valeurs propres de M soient toutes égales est elle que M = lambda x In ?
    In étant la matrice identité d'ordre n et lambda une constante.
    Si oui pourquoi?

  3. #3
    invite23cdddab

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Prends M une matrice nilpotente : toutes ses valeurs propres sont nulles, mais il ne s'agit pas de la matrice nulle

  4. #4
    invited8d2faee

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Merci mais cela ne répond pas à ma question

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite23cdddab

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Ça répond à une de tes questions.

    Sinon, tu prends n'importe quelle matrice triangulaire avec des lambda sur la diagonale. Et elle ne serra semblable à lambda*In que si elle est diagonalisable

  7. #6
    invited8d2faee

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Je demande la forme générale d'une matrice[...].
    Donc me donner un exemple d'une matrice ne fonctionne pas.

  8. #7
    invite23cdddab

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Je te donne le moyen de toutes les obtenir (enfin, si il s'agit de matrices à coefficients dans C, je n'ai pas réfléchi au cas réel vu que tu parlais d'opération Hermitienne)...

    Si tu préfères, M est de la forme , avec A triangulaire supérieure avec des sur la diagonale et P inversible

  9. #8
    leon1789

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Ça répond à une de tes questions.

    Sinon, tu prends n'importe quelle matrice triangulaire avec des lambda sur la diagonale. Et elle ne serra semblable à lambda*In que si elle est diagonalisable
    ...que si elle est déjà diagonale.

  10. #9
    leon1789

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Sur C, j'aurais répondu comme Tryss2

    Sur R, j'ai une question : est-ce qu'une matrice qui n'a pas de valeur propre est considérée comme ayant toutes ses valeurs égales ?

  11. #10
    invite23cdddab

    Re : Matrice ayant toute ses valeurs propres égales

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    ...que si elle est déjà diagonale.
    Abawi, puisque ça commute

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