valeurs propres d'une matrice

[invitefa15af9f]

Bonjour à vous tous et toutes
j'aimerais bien savoir la signification des valeurs propres. Est ce qu'elles contiennent le maximum d'information??
merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas ce que tu appelles "signification", en dehors de la définition, que tu as déjà. Les valeurs propres sont liées à ce que produit la matrice quand on l'utilise, mais sont loin de contenir toute l'information sur la matrice (par exemple elles ne permettent pas de calculer les coefficients). Quand au "maximum d'information", ça ne veut rien dire.
Pour en savoir plus, tu peux étudier un cours d'algèbre linéaire, en partant du niveau L1 et en allant jusqu'au niveau M2. Bonne lecture !

[invitefa15af9f]

Re.
Merci de votre réponse
oui j'ai déjà bien assimiler les définitions mathématiques concernant l’algèbre mais le problème c'est lorsque je projette ces définitions dans un modèle physique par exemple, il faut d'abord comprendre physiquement à quoi servent les valeurs propres ?
Mathématiquement je sais qu'elles sont indispensables pour résoudre les systèmes linéaires, les systèmes d'équation différentielles linéaires et les problème d'évolution pour approximer les opérateurs pseudo différentielles par exemple.....!

A+

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

La réponse est non, il faut également les vecteurs de base dans laquelle la matrice a été diagonalisée.

Par exemple, en mécanique quantique, on peut représenter l'Hamiltonien de l'équation de Schrödinger sous forme matricielle. En diagonalisant la matrice, on obtient les différents niveaux d'énergies accessibles au système quantique étudié. Cependant, si l'on veut également les densités de probabilités associés à chaque niveaux d'énergies, on a besoin de vecteurs de base correspondant (ceux qui diagonalisent la matrice).

Quant au "maximum d'information", je suppose que vous voulez dire la chose suivante:

Soit , une matrice symétrique et sa décomposition en vecteurs et valeurs propres. Alors la matrice obtenue avec les k < m premiers vecteurs propres de U et valeurs propres de D est la meilleure approximation linéaire de rang k de A.

[A voir en vidéo sur Futura]