Devoir Maison niveau M1, calcul matriciel/étude qualitative d'EDO

[invite5d1ab7cc]

Bonjour, je viens chercher de l'aide ici dans le cadre d'un devoir maison en modélisation (Je suis en M1 d'écologie).
Voici la question sur laquelle je bloque :

"Soit la matrice A =(0,-α,0 ; β,0,0 ; 0,0,λ) (écriture type "Scilab")
Montrer que les valeurs propres de A sont λ ainsi que deux
valeurs propres imaginaires pures (= de partie réelle nulle) que l'on indiquera."
(On admettra que si pour un point fixe la matrice jacobienne admet 3 valeurs propres dont deux sont imaginaires pures, alors le point sera « pseudo-attracteur » si la 3ème valeur propre est <0 et « pseudo-répulseur » si la 3ème valeur propre est >0 )

Mon calcul me donne un déterminant égal à zéro, je ne parvient pas à obtenir 3 VP, dont deux imaginaires comme sous entendue dans la consigne.
J'ai cherché les VP de cette manière :
P(λ)=Det(A-Id3)
= Det ( (0,-α,0 ; β,0,0 ; 0,0,λ) - (0,0,λ ; 0,λ,0 ; 0,0,λ) )
= Det (-λ,-α,0 ; β,-λ,0 ; 0,0,0)
Le Det étant calculé de la façon suivante : sum(a ij(-1)^(i+j)*delta ij)
avec delta ij = A privée de la i ème ligne et j ième colonne.

Merci.

[gg0]

Bonsoir.

Je ne comprends pas ce que tu écris pour la recherche des valeurs propres. En tout cas tu ne peux pas réutiliser λ pour la notation d'une valeur propre, puisqu'il existe déjà.
x est valeur propre si det(A-xId)=0, donc si det (-x,-α,0;β,-x,0 ; 0,0,λ-x)=0

A priori, rien n'interdit qu'il y ait trois valeurs propres réelles, sauf si αβ>0, ce que tu n'as pas précisé (mais le -α laisse penser que α et β sont peut-être des réels strictement positifs)

Bon travail !

[invite5d1ab7cc]

Merci de votre réponse, et oui en effet j'ai oublié de préciser que la consigne indique que α>0 et β>0.

Je me suis aussi rendu compte du problème dans ma notation (habitude de nommer les VP λ).
Mais je ne parvient pas à obtenir un polynôme que je sache résoudre à partir de la matrice (-x,-α,0;β,-x,0 ; 0,0,λ-x).

Mon calcul est le suivant : (-x)*(-1)^(1+1) * (-x,0 ; 0, λ-x) + (-α)*(-1)^(1+2) * (β,0 ; 0,λ-x) + 0

[gg0]

Le déterminant à calculer est simple, il est même directement factorisé si on le calcule en développant par rapport à la troisième ligne. mais même si on utilise d'autres méthodes, l'énoncé donne une factorisation évidente.
Il faudrait peut-être ne pas attendre des autres ce que tu peux faire toi-même. Après avoir appris tes leçons (calculer un déterminant, calcul matriciel, valeurs propres et vecteurs propres, ...).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5d1ab7cc]

Merci beaucoup de votre réponse.
En suivant la troisième ligne, j'obtiens le polynôme : (λ - x)(x² - αβ)
λ est donc une VP, les deux autres seraient alors les VP imaginaires.
Je vois "i racine(αβ)" comme solution, mais pas la troisième.

[gg0]

Avec (λ - x)(x² - αβ), il y a trois racines réelles. Tu as dû faire une erreur de signe. Et je te rappelle qu'un polynôme réel qui a une racine complexe en a automatiquement une autre. Ou encore que x²=k donne deux solutions (sauf si k=0).

[invite5d1ab7cc]

Oui j'ai finit par comprendre pourquoi i racine(αβ) et -i racine(αβ) sont les deux solutions. Je n'ai pas manipulé de nombres complexes depuis ma terminale, je les redécouvre en M1 ^^ Merci beaucoup.