Bonjour,
il y a un exercice sur lequel je bloque : faire un développement limité à l'ordre 2 de e^(1/x)*(1-x) en 0 :
je trouve (1+x+x^2/2)*(1-x)=1-x^2/2+x^2*0(x) mais je ne suis pas sur de moi car la question suivante me dit de remplacer x par 1/t, et que je doit trouver une droite en asymptote ...
en remplaçant x par 1/t on a bien f(x) = 1-2/x^2 non ?
Merci de votre aide.
Bonjour,
La question ne porterait-elle pas sur le développement limité enEnvoyé par Chouxxx
?
Qui est f(x) ?
Bonsoir.
1+x+x^2/2 est le début du DL de exp(x), pas exp(1/x).
Pardon la première expression est exp(x)*(1-x) il faut en faire le DL en 0, puis en déduire la limite en +inf grâce au changement de variable x=1/t.
Alors pas de souci, et on a bien l'asymptote demandée ...
Bonjour gg0,
pourrais-tu m'expliquer un peu plus en détail pour l'asymptote ?
Si j'ai bien compris le DL est bon, et pour le changement de variable, on obtiens 1-2/t^2 +1/t*0(1/t) ?
Ce qui ne fait pas une asymptote si ? Car j'ai vu la courbe et c'est une asymptote du genre y=x+b ...
Merci de ton aide
Serait-il possible d'avoir un énoncé complet, et exact, de l'exercice ?
Chouxxx,
il faut être cohérent !
Si tu développes exp(x)(1-x) puis remplaces x par 1/t, tu obtiens bien 1-2/t^2 +1/t*0(1/t), ou même 1-2/t^2 +1/t*0(1/t²), et tu obtiens une asymptote d'équation y=1 pour la courbe de t-->exp(1/t)(1-1/t)
Quant à la courbe de x-->e^(1/x)(1-x), comme (e^(1/x)-1) tend vers 0 quand x tend vers l'infini, elle a comme asymptote très évidente la droite d'équation y=1-x. pas besoin de développements limités pour faire ça, exp(x)-1 a un équivalent très connu.
Cordialement.
Bonjour God's Breath,
Alors voici :
Soit f la fonction définie sur I=[1,+inf[ par : f(x)=exp(1/x)*(x-1)
Donner le DL(2) au voisinage de 0 de la fonction g définie par : g(t)=exp(t)*(1-t).
En déduire en posant t=1/x, que la courbe C admet quand x tend vers +inf une asymptote que l on construira. Préciser pour x suffisamment grand, la position de C par rapport à cette asymptote.
@ gg0 : C'est curieux, j'aurais mis ma main à couper que le graphe de la fonction
@Chouxxx
Si tu poses t=1/x, que devient l'expression de f(x) ? Quel rapport avec g(t) ?
*
On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
@gg0 honnêtement, je ne comprend pas très bien car ( 1 -1/x ) est différent de (x-1) donc on ne retrouve pas f(x) ... L'énoncé n'est pas très clair je trouve
La fonction était exp(1/x)*(x-1) et là on a bien une asymptote en y = x-1 il me semble@ gg0 : C'est curieux, j'aurais mis ma main à couper que le graphe de la fonction
Il ne s'agit pas de poser t=1/x dans g(t), mais dans f(x).
Si on veut étudier les propriétés de la courbe C; on s'occupe de la fonction f pas de la fonction g qui n'est qu'un auxiliaire de calcul.
Effectivement, God's Breath,
j'ai été un peu léger dans mon raisonnement en ne l'écrivant pas.
C'est d'ailleurs pour éviter cette erreur que l'énoncé propose deux fonctions
Cordialement.
Bon, éh bien moi je n'ai toujours pas compris comment résoudre la deuxième partie du problème
Il faut étudier la limite en 0 de exp(t)*(1/t-1)≈1/t=+inf ?
Si c'est le cas, on ne trouve pas d'équation de droite ...
Merci de votre aide !
Cordialement.
Peux tu mettre le dernier facteur sur un même dénominateur commun... et utiliser la fonction g ?
