Bonjour,
Comment prouver que le lieu du point d'intersection des hypothénuses de deux triangles rectangles qui ont la même aire A/2, est une hyperbole y=A/x lorsqu'on superpose leur angle droit à l'origine d'un repère (x,y)?
(Je viens de me le figurer mentalement, mais je suis trop paresseux pour faire le calcul...est-ce que quelqu'un pourrait au moins confirmer ou infirmer ce résultat, sans nécessairement faire le calcul?)
Je vous remercie d'avance!
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 08/03/2016 à 20h03.
Quasi doublon de http://forums.futura-sciences.com/ma...-new-post.html.
Pourquoi poser la question sur deux forums ?
Et rien ne t'interdit de faire ces petits calculs de lycéen. prends A=1 pour simplifier.
Le lieu du point d' intersection de deux segments est ... un point .
Oui désolé, le message initial dans l'autre forum visait plutôt à obtenir des listes de propriétés, et dans celui-ci de parler du lieu...mais la discussion sur le lieu s'est enclenchée là-bas...on peut la continuer ici ce sera en effet plus clair...Envoyé par gg0
Comment exprimer ce lieu ? (l'enveloppe des hypothénuses)
Comme le propose Dynamix:
Donc en effet, admettons qu'ils sera facile de le montrer comme ça!
Maintenant, cela ne résoud pas tout à fait mon problème, car je ne peux pas partir de la situation inverse :
Je possède les dimensions des côtés de deux triangles de même aire, et je veux déterminer en quel point leur hypothénuse intersecte l'hyperbole!
edit : ça devrait être faisable, je reviens avec mes résultats pour obtenir une confirmation!
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 08/03/2016 à 20h46.
Attention,
l'enveloppe ne passe pas par les points d'intersection.
Et l'intersection des deux hypoténuses en vert clair est bien loin de l'enveloppe !
Dernière modification par gg0 ; 08/03/2016 à 20h54.
En effet, j'ai mal défini le lieu dès le début (comme dit ici), mais c''est bien l'enveloppe qui m'intéresse.
Voilà les données de départ:
- le premier triangle de hauteur L et base D/4
- le second triangle de hauteur L/2 et de base D/2
Leur surface vaut donc bien A = LD/8.
Maintenant, j'aimerais trouver, pour chacun des deux triangles, le point de leur hypothénuse qui intersecte la courbe yx = LD/4 = 2A, représentant l'enveloppe de tous les triangles rectangle d'aire A.
Je trouve donc l'équation des hypothénuses, et je fais:
et
Le problème est que pour le premier car (je n'ai pas encore fait le second), j'obtiens un
Donc j'ai
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 08/03/2016 à 21h14.
Voilà, j'ai mis à jour le dessin et la question (j'ai simplement fait D'=2D, ensuite renommé D' en D)
Quelqu'un a une idée des deux poitns d'intersection?
Je vous remercie d'avance!
Voici une copie d'écran avec une figure dans le cas L=D=4.
J'ai tracé un triangle rectangle de hauteur L=4, de base D=L/4 comme on peut le voir sur les axes gradués.
J'ai tracé l'hyperbole d'équation xy=LD/4=4, équation visible sur la partie gauche de la figure.
Je ne vois pas comment l'hypothénuse du triangle rectangle pourrait envelopper l'hyperbole...
Bonsoir God's breath,
je vous remercie de venir à ma rescousse.
a) En effet selon les valeurs que vous avez prises, il n'y a pas d'intersection. Cependant.
b) Il est évident que l'enveloppe de tous les triangles rectangles de même aire est une hyperbole, et il est assez simple de s'en convaincre avec un cas simple :
si on prend une aire de 1, nous avons les triangles rectangles OAB où O = (0,0), A = (a, 0) et B = (0, 1/a), pour tout a>0 réel.
Dès lors on transpose pour un triangle d'aire LD/4, on a tous les triangles OAB où O = (0,0), A = (rL, 0) et B = (0, D/(4r)), pour tout r>0 réel.
On encore
On voit bien que leur enveloppe forme une hyperbole, d'équation inconnue.
Mon but est de trouver l'équation de cette hyperbole, tangente en 2 points aux 2 hypoténuses appartenant aux 2 triangles rectangles de même aire et de côtés donnés.
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 08/03/2016 à 22h44.
Une vieille propriété des hyperboles : sur la tangente en un point M, les asymptotes déterminent un segment de milieu M.
Que dites-vous de mon dessin du message #4 avec les triangles d'aire A/2?
Quelle est l'équation de l'hyperbole dans ce cas?
Ok, donc comme les asymptotes sont confondues avec les axes x et y ici, on a simplement que le point M est le milieu de l'hypothénuse, donc si l'hypothénuse est un segment [AB] où A=(A,0) et B=(O,B), le point d'intersection de ce triangle avec l'hyperbole d'équation y=C/x sera le point M=1/2(A,B).
Dans notre cas, un seul triangle suffit donc pour déterminer la constante C, le deuxième est de trop.
On a donc pour le triangle OAB avec A=(L,0) et B=(0, D/2) : y(D/4)=C/(D/4)=L/2 ==> C=LD/8 ==> y(x)=LD/8x.
On vérifie en effet pour le second triangle : L/4=y(D/2)=(LD/8)/(D/2) = L/4 ok.
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 08/03/2016 à 23h16.
Points de tangence , pas d' intersection .
https://fr.wikipedia.org/wiki/Envelo...9om%C3%A9trie)
Ok, points de tangence, mais le point en question appartient en même temps à la courbe, et en même temps à la tangente, donc dans ce sens, j'y voyais une intersection (en 1 point). Mais dans ce sensuniquement.
Sinon voilà la construction en question, et le but de ce jeu:
Une petite mise à jour du dessin, avec la labelisation des points pour plus de clarté, mais surtout pour faciliter grandement la discussion à suivre :
Que pensez-vous de cette construction...la donnée supplémentaire de l'appartenance à une hyperbole ne permet-elle pas de "court-circuiter" l'atan((tanθ)/2) en passant d'un triangle à l'autre ( de T(LOZ) à T(QOJ) ) via l'isocèle du sommet de l'hyperbole?
(Z = point (mL,0))
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 09/03/2016 à 04h05.
Donc il faut un peu essayer de voir toute la construction bouger lorsque le SEUL paramètre
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 09/03/2016 à 04h20.
Et une toute dernière transformation, encore par clarté (enlever l'information inutile, travailler sur des axes de symétrie...)
Voilà donc un brouillon:
Le but ultime est de pouvoir déterminer si
Autrement dit, de (il me semble) déterminer si le point D est au-dessus de l'axe
J'ai trouvé
avec comme notations :
point
Voilà déjà une première mesure indépendante de m...
Mais le but ultime, je le reformule plus correctement, c'est donc de déterminer si
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 09/03/2016 à 15h51.
Si ça ennuie certains que L ne soit pas donné explicitement, ils peuvent considérer
La question se transforme alors en : à partir de quel
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 09/03/2016 à 16h40.
Pour être plus précis :
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 09/03/2016 à 16h51.
Et on a aussi (encadrement, comme dit plus haut) :
Et on veut déterminer quel angle
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 09/03/2016 à 16h59.
Si on trouve cela, on sait quelle puissance de 2 dépasse
j'aime bien le bricolage sans trop de rigueur, mais je ne sais pas d'où commencer, et si tu commence par les équations de deux tangentes
