lemme de Gronwall

[invitea5398569]

Bonsoir, je dois démontrer le point suivant :
,
J'ai avec :



je dois montrer que y est identiquement nulle sur [a,b]

j'ai essayé d'utiliser y(a)=0, du coup j'ai y'(a)<0, mais je n'arrive pas à continuer. J'ai pensé dire que par continuité de y, on en déduisait l'égalité pour tout t dans [a,b], mais c'est clairement peu rigoureux.
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[invite57a1e779]

C'est toujours la même histoire : l'équation différentielle y'=ky a pour solution y=c.e^kt. Ensuite, on utilise la méthode de la variation de la constante.

[invite23cdddab]

Peut être commencer par écrire que



Et le lemme de Grönwall donne tout de suite la solution

[invitea5398569]

god's breath >> la méthode de lagrange sur une ED homogène d'ordre 1 ? Il faudrait m'expliquer comment faire alors, car nous on l'utilise seulement si il y a solution particulière.

tryss2 >> en fait je dois "démontrer" le lemme de gronwall, et non l'utiliser.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

On définit une fonction de telle sorte que : .

On utilise les données : , , et on regarde ce que cela impose comme conditions sur .

[invitea5398569]

pourquoi regarder l'inégalité y'<ky alors que y est définie par y'=ky ? on se restreint à l'étude du cas d'égalité, non ?

plus simplement, pourquoi résoudre l'ED y'=ky ? ça pose des conditions supplémentaires sur y, on ne va pas pouvoir répondre complètement au problème.

[invite57a1e779]

Pour résoudre y'=ay+b, on commence par résoudre y'=ay.

Pour résoudre y'=ky, on commence par résoudre y'=ay.

Je ne vois pas le problème : on commence par résoudre une équation différentielle qui n'est pas celle qui intéresse directement, mais qui donne des indications sur la façon de s'y prendre.

Si tu faisais bêtement ce que je dis au lieu de te poser des questions inutiles, il y a longtemps que tu aurais résolu la question et compris mon indication.

[invitea5398569]

oui mais si je faisais bêtement les applications au lieu de me poser des "questions inutiles" comme tu dis, donne-moi la probabilité pour que je puisse ressortir un raisonnement identique à un examen ?

De plus, j'ai fait ce que tu proposes, et je trouve en effet le résultat demandé. Mais c'est loin d'être suffisant étant donné qu'on a imposé une écriture à y.

[invite23cdddab]

Non. On n'a imposé aucune condition sur y :

y(t) = c(t)e^(kt) avec c(t) = y(t)e^(-kt)

[invite57a1e779]

Oui, on impose une écriture, comme toujours.
Autrement dit : on fait un changement d'inconnue adapté au problème.
Dans les équations différentielles, c'est l'équation différentielle homogène qui fournit la forme du changement d'inconnue. Ici, on définit une nouvelle inconnue par : et tout se passe bien, on obtient , donc .

Le changement d'inconnue est exactement le même que pour une l'équation différentielle pour laquelle je suis certain que tu cherches les solutions sous la forme en utilisant la variation de la constante sans te poser tant de question.

Lors d'un examen, tu feras exactement la même chose :
1. équation linéaire homogène associé au problème
2. variation de la constante

[invitea5398569]

ok donc si j'ai bien compris, on utilise un changement de variable, et l'ED n'est là que pour donner une piste (ça aurait pu être donné à titre d'indication autrement dit)

[invite57a1e779]

L'ED est quand même intimement liée au problème : si tu veux résoudre , tu ne commences pas par résoudre ou .

[invitea5398569]

Arf, je dois reprouver une égalité du genre.
j'ai

j'ai également montré .

je pose . Elle est C1 et je dois montrer pour tout t dans [a,b] :



j'arrive à obtenir le terme k||X(a)|| mais je galère pour ky(t)

[invite57a1e779]

Arf, je dois reprouver une égalité du genre.
j'ai

j'ai également montré .

je pose . Elle est C1 et je dois montrer pour tout t dans [a,b] :



j'arrive à obtenir le terme k||X(a)|| mais je galère pour ky(t)