Modéliser une équation différentielle ordinaire à partir d'une courbe

[invite1687ed44]

Bonjour,

J'ai un problème de physique à résoudre mais je bloque sur la partie mathématique.

Je mesure une force (F) en fonction d'une distance (x). J'ai donc les points expérimentaux.

Je souhaite modéliser cette force par l'équation



et déterminer ainsi a et b.

Sur Origin, il m'est possible de modéliser une courbe par par exemple. Mais dans mon cas, comment faire ?

Merci beaucoup,

Bien à vous,
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[invite63e767fa]

Je suppose que tu cherches comment calculer les valeurs approximatives des coefficients a et b de façon obtenir un bon accord avec l'équation différentielle.
Les données expérimentales étant (t₁ , x₁ , F₁) , (t₂ , x₂ , F₂) , . . . , (t_k , x_k , F_k) , . . . , (t_n , x_n , F_n) , calcule les valeurs approchées des dérivées:
D_k=(dF/dt)_k= (1/2)(F_k+1-F_k-1)/(t_k+1-t_k-1).
Maintenant tes données sont (t₁ , D₁ , x₁ , F₁) , (t₂ , D₂ , x₂ , F₂) , . . . , (t_k , D_k , x_k , F_k) , . . . , (t_n , D_n , x_n , F_n).
Ensuite, une régression linéaire classique (méthode des moindres carrés) donne les valeurs approximatives de a et b pour l'équation linéaire relativement à a, b :
F_k=a*D_k+b/x_k².
Cette méthode serra acceptable si les points sont bien ordonnés et assez régulièrement répartis.
Si non, le résultat sera nettement meilleur en utilisant l'équation intégrale correspondante :
Intégrale(F*dt)=a*t+Intégrale( dt/x^2)
Pour avoir des idées sur cette méthode et le principe du calcul numérique approximatif des intégrales , voir :
https://fr.scribd.com/doc/14674814/R...ons-integrales

[invite63e767fa]

Correction d'une faute de dactylographie dans ma réponse précédente :
Intégrale(F*dt)=a*x+Intégrale( dt/x^2)

[invite1687ed44]

Merci beaucoup JJacquelin, c'est une super idée.

Bravo pour votre exposé en lien.

Très belle journée et paix sur vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1687ed44]

Bonjour,

Le calcul des valeurs approchées des dérivées fonctionne bien, j'ai réussis à modéliser ma courbe avec le solveur d'excel grâce à vous, merci encore. Cependant, je n'arrive pas à comprendre le passage de :

F=a*dx/dt+b/x² à F_k=a*D_k+b/x²_k.

Pourquoi a-t-on le droit de remplacer dx/dt par D_k (la dérivée de F par rapport à t) pour chaque k ? La dérivée de F ne vaut-elle pas a*dx²/dt² ?

Mettons que F=a*dx/dt*1/x+b/x², pour chaque k, pourrait-on écrire F_k=a*D_k*1/x+b/x²_k ?

Merci énormément,

Paix sur vous,

[invite63e767fa]

Bien sûr, tu as raison, j'ai donné la dérivée de F(t) au lieu de celle de x(t).
D_k=(dx/dt)_k= (1/2)(x_k+1-x_k-1)/(t_k+1-t_k-1).

[invite1687ed44]

Merci beaucoup !

Le sujet est résolu.