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Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice



  1. #1
    Bartolomeo

    Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice


    ------

    Bonjour,

    j´ai des difficultés à comprendre une étape.
    Soit le problème:

    avec et

    Je diagonalise la matrice et cherche les vecteurs propres:
    et
    et

    Soit
    La solution est sous la forme:


    et

    La solution se change en:


    Je n´arrive pas à comprendre comment on arrive au résultat suivant, un peu d´aide serait bienvenue:

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Bartolomeo

    Re : Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice

    toujours personne?

  4. #3
    GrisBleu

    Re : Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice

    Salut

    (P^-1 D P)^2 = P^-1 D P P^-1 D P = P^-1 D^2 P
    (P^-1 D P)^3=P^-1 D P P^-1 D P P^-1 D P = P^-1 D^3 P
    ...
    (P^-1 D P)^n=P^-1 D^n P

    En ecrivant l exponentielle comme uneserie, tu dois voir ce qui se passe

    ++

  5. #4
    Bartolomeo

    Re : Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice

    ben en fait non! je n´arrive pas à démontrer que
    avec

    soit


    e plus, je ne voit pas comment l´on passe de

    à
    [/QUOTE]

  6. #5
    GrisBleu

    Re : Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice

    [quote=Bartolomeo;2317890]
    Salut

    Tu es a la fin, P^1 P =Id, donc


    Ensuite, l exponentielle d une matrice diagonale est facile a calculer en utilisant le developement
    ++

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bartolomeo

    Re : Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice

    Merci pour ton aide Wlad!

    Donc maintenant où tu m´a démontré que
    je calcule avec bonne conscience:

    (je m´était tromper ds la place de y0 au 1er message)
    c´est à dire:

    ce qui me donne:

    ce qui me donne comme résultat:


    Ok c´est superbe, mais disons que le produit de matrices était un peu ennuyeux.
    Finallement quel était l´avantage de diagonaliser la matrice A? uniquement pour utiliser:
    ?

  9. Publicité
  10. #7
    GrisBleu

    Re : Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice

    Salut

    C est exactement parceque l exponentielle d une matrice diagonale est simple a calculer (c est l exponetielle des termes diagonaux) que la methode est avantageuse. Sinon, il faut calculer tous les termes... Pour une matrice 2x2 c est - peut etre - mieux, mais cette methode marche toujours
    ++

  11. #8
    Bartolomeo

    Re : Equation Différentielle Ordinaire, exponentielle d´une matrice

    Merci beaucoup pour ton aide!

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