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Equation avec une fonction exponentielle



  1. #1
    Witten

    Equation avec une fonction exponentielle


    ------

    Bonjour,

    J'ai la fonction suivante :



    Et j'aimerais résoudre f(x)=10, donc :



    J'ai transformé en :



    Mais je ne vois absolument pas comment faire une approximation à 10^-3 près sans utiliser une calculatrice graphique. Comme d'habitude ça n'a rien à avoir avec ce qu'on fait en Maths et je n'ai donc aucun cours là-dessus. C'est un exo d'une épreuve de BAC S que j'ai trouvé sur google, et j'ai voulu le résoudre par curiosité.

    J'ai essayé de faire un développement limité d'ordre 3, pour me ramener à une équation du 2 degrés (qui tombe miraculeusement sur une valeur entière), mais ça donne une approximation beaucoup trop grossière.

    Merci d'avance pour votre aide

    -----
    Dernière modification par Witten ; 02/03/2006 à 21h25.

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  3. #2
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    A vue de nez, tu ne trouveras pas de solution théorique. Donc étude de fonction pour obtenir un encadrement raisonnable, puis méthode numérique (dichotomie ou mieux).

  4. #3
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Précision : x=0 est bien sur une solution évidente. Pour le développement limité je parlais bien sur de la fonction e^-0.5x.

    [EDIT]

    Merci pour la réponse Matthias, je vais chercher avec "dichotomie".
    Dernière modification par Witten ; 02/03/2006 à 21h33.

  5. #4
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Citation Envoyé par Witten
    Précision : x=0 est bien sur une solution évidente. Pour le développement limité je parlais bien sur de la fonction e^-0.5x.
    Je suppose que c'est l'autre solution que tu cherches (entre 4 et 5 si je n'ai pas fait d'erreur). Un développement limité ne peut t'aider que si tu connais déjà la valeur autour de laquelle tu veux étudier ta fonction (pour trouver une limite par exemple).

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    chris111

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Salut,
    Y aurai pas comme une erreur de signe? +2x dans ta derniere expression. Bon ca change pas grand chose dans le résultat mais bon...

    Sans calculatrice, trouver une solution à 10-3 près? Comme il y a l'exponentielle, pas de dichotomie, pas de Newton Raphson.
    1- Deviner et vérifier que x=0 répond exactement à la question . Là, ca marche parce que c'est facile, dans un cas plus général c'est moins sur.

    2-Dans un cas général, après étude de la fonction, on délimite une petite zone ou se trouve le zéro de la fonction on fait un developpement limité autour d'une valeur de cette zone, comme tu l'a mentionné.
    Je dirais qu'il te suffit de pousser le developpement aussi loin que necessaire, de majorer l'erreur.
    Mais là, je coince un peu pour la majoration de l'erreur (mes souvenirs des développements de Taylor sont un peu lointain).

    edit: oulala, je suis un véritable escargot, y sont 3 à m'avoir grillé
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle

  8. #6
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    C'est bien sur la valeur entre 4 et 5 que je cherche. Je vais une fois voir avec la dichotomie, et essayer un développement limité au point 4.5.
    Tu as raison chris111 (tu t'es fait griller parceque tu as écris beaucoup), ce n'est pas :



    Mais :



    Pour ceux que ça intéresse voici l'énoncé cliquez ici. Exercice 1 Partie A 3).

    Merci pour votre aide, avec ça je devrais pouvoir y arriver.

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  10. #7
    chris111

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Je condenserai donc la prochaine fois
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle

  11. #8
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Je condenserai donc la prochaine fois
    Je crois que c'est difficile, en tous cas ton message était très bien.

    Je viens de faire un développement limité au point x=4.5 de l'exponentiel, et là j'ai trouvé une valeur à 10^-3 près. J'ai trouvé 4.6723, alors que ma calculatrice donne 4.6733, donc une différence de 10^-3.

    Merci pour votre aide.

  12. #9
    pi-r2

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Ce genre de problème se résoud par la méthode du point fixe (? pas sur du nom):
    en écrivant l'équation sous la forme:
    f(x)=x
    et en essayant d'avoir une f qui vérifie |f(x)|< a |x| pour tout x, avec a<1
    ça converge tout seul:
    on définit la suite un =f(un-1) dont on montre qu'elle converge vers une solution de l'équation.
    (tu t'es planté de signe en changeant exp de côté)
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  13. #10
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    (tu t'es planté de signe en changeant exp de côté)
    Je m'étais trompé de signe dans mon premier message, mais j'avais rectifé ensuite.

    Je suppose que tu parles de ceci, le nom est bon :

    Methode du point fixe

    Je comprend pas bien ce qu'il faut faire. J'ai transformé en :



    Pour avoir une équation du type x=f(x). Mais après j'ai du mal.

    Merci d'avance pour plus d'explication.

  14. #11
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Citation Envoyé par Witten
    Je comprend pas bien ce qu'il faut faire. J'ai transformé en :



    Pour avoir une équation du type x=f(x). Mais après j'ai du mal.
    Pour pouvoir utiliser le théorème du point fixe, il te faut une fonction contractante, c'est-à dire telle qu'il existe 0<a<1 tq |f(x)-f(y)|<a|x-y|. La tienne ne l'est pas malheureusement puisque la dérivée vaut à peu près 2.5 au point qui t'intéresse.

    Mais il y a beaucoup de fonctions possibles, par exemple:

    Dernière modification par matthias ; 03/03/2006 à 20h57.

  15. #12
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Ok, merci.

    La tienne ne l'est pas malheureusement puisque la dérivée vaut à peu près 2.5 au point qui t'intéresse.
    Ca veut dire qu'on ne peut pas résoudre cette équation avec la méthode du point fixe?

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  17. #13
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Non, c'est la fonction que tu choisis pour f(x)=x qui doit être contractante. Je t'ai mis un autre exemple pour te montrer qu'il y a plusieurs moyens de choisir une fonction f (mais je n'ai pas vérifié que la mienne marchait, attention).

  18. #14
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Donc si je comprend bien la solution de l'équation suivante (si la fonction est contractante), qui est résoluble par la méthode du point fixe :



    Est la même que :



    Ce qui me semble logique. Donc le truc consiste à transformer l'équation en une équation du type x=f(x), tel que f(x) soit contractante, ce qui ne doit pas toujours être évident. Et si j'ai bien compris après on choisit une valeur de x0 qu'on suppose près de la solution et on s'approche de la solution en répetant ou en cherchant la limite de :


  19. #15
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Il reste une condition pour utiliser le théorème du point fixe. Il faut se placer sur un intervalle I stable par f (c'est-à-dire tel que f(I) inclu dans I). Cela t'assure que si x0 est dans I alors toute la suite est à valeurs dans I. Il suffit évidemment que la fonction soit contractante sur I.

    [EDIT: tu aurais quand-même du commencer avec la dichotomie, ce n'est pas la méthode la plus efficace, mais c'est la plus simple ]

  20. #16
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Si je ne me suis pas trompé, il suffit de prendre I = [3;5] et la fonction que je t'ai proposée et les conditions devraient être réunies.
    Tu peux essayer de prendre x0 dans cet intervalle et de regarder si la suite à l'air de bien converger.

  21. #17
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Ce que tu dis matthias me semble tous à fait logique, et en plus maintenant je sais ce que veut dire un "Interval I stable par f" . Maintenant je vais faire quelques essais.

    Pour la dichotomie j'avais regardé ici, mais d'après ce que j'ai compris, et la manière dont je l'ai appliqué je trouvais ça plutôt fastidieux, vu qu'il faut repeter le processus un bon nombre de fois. A moins que j'ai raté un truc.

    Avec la fonction que tu m'as donné ça à l'air de marcher.
    Dernière modification par Witten ; 03/03/2006 à 21h44.

  22. #18
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Citation Envoyé par Witten
    Pour la dichotomie j'avais regardé ici, mais d'après ce que j'ai compris, et la manière dont je l'ai appliqué je trouvais ça plutôt fastidieux, vu qu'il faut repeter le processus un bon nombre de fois.
    Oui c'est effectivement fastidieux et assez peu efficace, mais c'est bien de le connaître et de l'avoir au moins appliquer une fois. Et ça ne demande que des conditions assez peu contraignantes.

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  24. #19
    pi-r2

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Citation Envoyé par matthias
    Pour pouvoir utiliser le théorème du point fixe, il te faut une fonction contractante, c'est-à dire telle qu'il existe 0<a<1 tq |f(x)-f(y)|<a|x-y|.
    Lointains souvenirs, j'avais répondu un peu vite, mais heureusement, Matthias est passé par là !
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  25. #20
    Witten

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Grace à toi pi-r2 je viens de découvrir la méthode du point fixe, qui est vraiment génial.
    Quand on choisit bien la fonction et le terme initial on tape la fonction à la calculette (même un casio fx-92 c'est bon), puis on appuit "calc" et puis "ans" (pour reprendre le dernier terme) et puis "exe" et on recommence (10 fois suffise). Et ça converge tous seul sur la solution, magie, et c'est très rapide .

    Et encore merci à toi matthias pour tes explications.

  26. #21
    matthias

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Pour des infos et des explications plus précises sur le théorème du point fixe tu peux aller voir ici.
    Tu peux aussi regarder du côté de la méthode de Newton et de la méthode de la sécante qui sont des algorithmes intéressants.

  27. #22
    g_h

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Salut,

    Autre solution faisant appel à la fonction W de Lambert :



    Atention, grosse astuce : divisons de chaque côté par



    Là, il faut reconnaître la réciproque de la fonction W de Lambert. L'équation équivaut donc à :


    Je te laisse finir...

    Puis il faut prendre l'unique valeur réelle qui correspond (la fonction W de Lambert est multivaluée)

    (NB : cette fonction W est programmable sur calculette bien sur)
    Dernière modification par g_h ; 05/03/2006 à 10h30.

  28. #23
    g_h

    Re : Equation avec une fonction exponentielle

    Je suis bête, la fonction W calculée en cette valeur a bien 2 valeurs réelles (puisque à la fin on obtient 0 et l'autre valeur) !
    (donc au passage, ya pas d'erreur dans mon calcul )

    les autres valeurs sont complexes

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