Fonction exponentielle avec k

[kana_flower]

Bonsoir !

J'ai un DM de math et il y a un truc sur lequel je doute.

J'ai une fonction f_k(x)=ke^2x-4x² avec k un réel donné.

Je viens de démontrer que par un point M(x₀;y₀) passe une seule et unique courbe C_k (courbe de f_k(x)). Donc là c'est bon, dans cette démonstration, j'ai trouvé que
k=(y₀+4x₀²)e^-2x₀

Je dois maintenant démontrer que pour tout réel a fixé, l'ordonnée du point de C_k d'abscisse a est une fonction croissante.

Bon, déjà, j'ai pris P(a;t), point de C_k et j'ai dit qu'il fallait montrer que plus t est grand, plus k est grand c'est celà ?

Et donc j'ai pris le k trouvé dans la 1ère question et j'ai remplacé x₀ et y₀ par a et t.
Je trouve k = (t+4a²)e^-2a . Est-ce que à partir de là, je peut dire que l'exponentielle est strictement positive donc que k varie en fonction de (t+4a²) et dire que donc, plus t augmente, plus k augmente ?

En fait je vois pas trop comment le démontrer, car c'est évident...

Merci
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[Jeanpaul]

Je dois maintenant démontrer que pour tout réel a fixé, l'ordonnée du point de C_k d'abscisse a est une fonction croissante.

Déjà si tu écrivais clairement une fonction croissante DE QUOI ? tu y verrais plus clair.

[kana_flower]

A oui désolée, j'ai juste oublié de l'écrire mais j'en ai pris compte pour résoudre le problème.


"Démontrer que pour tout réel a fixé, l'ordonnée du point de C_k d'abscisse a est une fonction croissante de k"

[Jeanpaul]

Bien, maintenant tu vas écrire clairement cette fonction croissante sous la forme :
ordonnée = fonction(k) où a est un paramètre constant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kana_flower]

Bien, maintenant tu vas écrire clairement cette fonction croissante sous la forme :
ordonnée = fonction(k) où a est un paramètre constant.

Désolée mais je n'ai pas compris... c'est quoi la fonction ? Il faut la trouver ?

[Jeanpaul]

Allons-y doucement :
A chaque valeur de x, la fonction fk fait correspondre un y, OK ?
Donc quand x vaut a, l'ordonnée y_a vaut quoi ? Pas de piège.

Cette ordonnée va dépendre de k de manière très simple. On maintient a constant et c'est k qui est devenu variable. Comment varie y_a en fonction de k ? Pas de piège non plus.

[kana_flower]

Allons-y doucement :
A chaque valeur de x, la fonction fk fait correspondre un y, OK ?
Donc quand x vaut a, l'ordonnée y_a vaut quoi ? Pas de piège.

Euh, je dirais qu'elle vaut fk(a).

Cette ordonnée va dépendre de k de manière très simple. On maintient a constant et c'est k qui est devenu variable. Comment varie y_a en fonction de k ? Pas de piège non plus.

Si a est constant alors y_a croit en fonction de k ?

[Jeanpaul]

Oui, essaie d'être plus précise sur la croissance (justifie ce que tu avances).

[kana_flower]

Je résume :

On a fk(x)=ke^2x-4x²

Donc fk(a)=ke^2a-4a²

Donc en fait, ke^2a-4a² = ordonnée du point d'abscisse a.

Mais en fait ca veut dire quoi de démontrer que c'est une fonction croissante de k ? Ca veut dire qu'elle croit en fonction de k ?

C'est cela que je n'arrive pas à expliquer car, c'est évident que dans ke^2a-4a², si k augmente alors ke^2a-4a² augmente !

OU ca augmente car k est toujours multiplié par un nombre positif ?

Donc comme on à e^2a>0, on à ke^2a-4a² qui augmente lorsque k augmente, donc on à l'ordonnée qui augmente lorsque k augmente ?

[Jeanpaul]

Voilà, tu y es arrivée !

[kana_flower]

Merci beaucoup de m'avoir consacré un peu de temps