Bonsoir !
Je n'arrive pas à étudier la limite en +oo de la fonction suivante
f(x)=(1/2)x^2*e^-x
J'ai essayé de facoriser par la fonction exponentielle, et par le x^2 mais cela ne me permet pas de conclure, à moins que je me sois trompé quelque part.
Merci d'avance de m'aider.
@+
e^x est toujours prédominant par rapport à x qui est lui même prédominant par rapport à ln(x).
Sinon il faut simplement te ramener à une forme de ton cours que le prof a gentillement donnée !
Oui mais tu fais comment ? Je n'arrive pas a conclure en essayant tout cela.
f(x)=(1/2)x^2*e^-x = (1/2)x^2 / e^x et comme c'est e^x qui prédomine, alors la limite en +oo vaut 0.
Je m'auto-cite d'un topic on la question est proche:
Tu va avoir besoin de l'integration pour la démo, mais je pense que c'est bon non?
On va calculer la lim de e^x/x
e^x/x = e^x/e^(ln(x)) = e^(x-ln(x) = e^(x.(1-ln(x)/x))
Alors c'est quoi la limite de ln(x)/x? bin c'est zéro et pour sa, il faut repasser par une autre limite! (c'est le lemme (et pas LEM))
NB: sqrt = racine carré (pour Square Root je crois)
t>sqrt(t)
1/t < 1/sqrt(t)
donc intégre (rien que sa!) entre 1 et x
ln(x) - ln(0)< 2.sqrt(x) - 2
ln(x) < 2.sqrt(x) - 2
ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x
pour x>1
0< ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x
Or lim (2.sqrt(x) - 2)/x = 0 (je te laisse le faire!)
D'après le THM des gendarmes:
ln(x)/x = 0
Retour a notre fonction de départ: e^(x.(1-ln(x)/x))
en +OO, sa va tendre (en étape ici, mais sa se fait en une fois normalement!) vers e^x(1-0) (car ln(x)/x tend vers 0) donc en +OO
Pour quoi, sa va être l'inverse... (donc 0)
Lien vers l'autre topic: http://forums.futura-sciences.com/thread50886.html
Bonjour,
Je pense avoir une façon beaucoup plus simple pour trouver cette limite...
On cherchera tout le long quand x tend vers +00.
lim x²/2 . e^(-x) = lim x²/ 2(e^x) = lim 1 / 2(e^x/x²).
Or on sait que pour tout x réel et pour tout n entier naturel : lim e^x/x^n = +00 lorsque x tend vers +00.
lim (e^x/x²) = +00 donc lim 2(e^x/x²) = +00 donc lim 1/2(e^x/x²) = 0.
Donc, la limite cherchée en +00 : lim f(x) = 0.
Si, je me trompe, dites-le moi...
salut,
c'est correct et c'est la solution la plus simple
je pourrais calculer la limite de ln de cette fonction
j'aurai limite ln|x|-x= limite x(lnx /x -1)=-00
d'ou limite x²/2 . e^(-x)=0
as required
