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limite avec fonction exponentielle



  1. #1
    Astro boy

    limite avec fonction exponentielle


    ------

    Bonsoir !
    Je n'arrive pas à étudier la limite en +oo de la fonction suivante
    f(x)=(1/2)x^2*e^-x
    J'ai essayé de facoriser par la fonction exponentielle, et par le x^2 mais cela ne me permet pas de conclure, à moins que je me sois trompé quelque part.
    Merci d'avance de m'aider.
    @+

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite43219988

    Re : limite avec fonction exponentielle

    e^x est toujours prédominant par rapport à x qui est lui même prédominant par rapport à ln(x).
    Sinon il faut simplement te ramener à une forme de ton cours que le prof a gentillement donnée !

  4. #3
    Astro boy

    Re : limite avec fonction exponentielle

    Oui mais tu fais comment ? Je n'arrive pas a conclure en essayant tout cela.

  5. #4
    iwio

    Re : limite avec fonction exponentielle

    f(x)=(1/2)x^2*e^-x = (1/2)x^2 / e^x et comme c'est e^x qui prédomine, alors la limite en +oo vaut 0.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Boobooboo

    Re : limite avec fonction exponentielle

    Je m'auto-cite d'un topic on la question est proche:

    Tu va avoir besoin de l'integration pour la démo, mais je pense que c'est bon non?

    On va calculer la lim de e^x/x

    e^x/x = e^x/e^(ln(x)) = e^(x-ln(x) = e^(x.(1-ln(x)/x))

    Alors c'est quoi la limite de ln(x)/x? bin c'est zéro et pour sa, il faut repasser par une autre limite! (c'est le lemme (et pas LEM))

    NB: sqrt = racine carré (pour Square Root je crois)

    t>sqrt(t)

    1/t < 1/sqrt(t)

    donc intégre (rien que sa!) entre 1 et x

    ln(x) - ln(0)< 2.sqrt(x) - 2

    ln(x) < 2.sqrt(x) - 2

    ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x

    pour x>1

    0< ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x

    Or lim (2.sqrt(x) - 2)/x = 0 (je te laisse le faire!)

    D'après le THM des gendarmes:

    ln(x)/x = 0

    Retour a notre fonction de départ: e^(x.(1-ln(x)/x))

    en +OO, sa va tendre (en étape ici, mais sa se fait en une fois normalement!) vers e^x(1-0) (car ln(x)/x tend vers 0) donc en +OO

    Pour quoi, sa va être l'inverse... (donc 0)

    Lien vers l'autre topic: http://forums.futura-sciences.com/thread50886.html

  8. #6
    tbos83

    Re : limite avec fonction exponentielle

    Bonjour,
    Je pense avoir une façon beaucoup plus simple pour trouver cette limite...
    On cherchera tout le long quand x tend vers +00.

    lim x²/2 . e^(-x) = lim x²/ 2(e^x) = lim 1 / 2(e^x/x²).

    Or on sait que pour tout x réel et pour tout n entier naturel : lim e^x/x^n = +00 lorsque x tend vers +00.

    lim (e^x/x²) = +00 donc lim 2(e^x/x²) = +00 donc lim 1/2(e^x/x²) = 0.

    Donc, la limite cherchée en +00 : lim f(x) = 0.

    Si, je me trompe, dites-le moi...

  9. Publicité
  10. #7
    the strange

    Re : limite avec fonction exponentielle

    salut,
    c'est correct et c'est la solution la plus simple
    je pourrais calculer la limite de ln de cette fonction
    j'aurai limite ln|x|-x= limite x(lnx /x -1)=-00
    d'ou limite x²/2 . e^(-x)=0
    as required
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

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